Численные методы. Мирошниченко Г.П - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

9
Найдем n -ую производную функции
(
)
x
Φ
в точке
ζ
(n -ая производная
полинома
(
)
L
x равна нулю)
()
(
)
()
()
(
)
()
00!
nn
f
Kn
Φζ ζ
−− ⋅== ,
и выразим параметр
K
через эту точку
.
()
(
)
(
)
!
n
f
K
n
ζ
=
. (1.8)
Приравнивая
(1.8) и (1.7), получаем формулу для погрешности
интерполирования в точке
x
()
[]
() ()
()
()
()
()
,
max
!
n
ab
f
xx
Rx f x Lx
n
Ω
⋅
−≤=
. (1.9)
Итак, погрешность интерполирования можно изменять для выбранной
функции
(
)
f
x и заданном числе узлов интерполяции n с помощью
изменения величины полинома
(
)
x
Ω
, то есть с помощью оптимального
расположения узлов интерполяции. Теория показывает, что полином
(
)
x
Ω
(1.6) (степени n , имеющий единичный коэффициент при старшей
степени), наименее уклоняющийся от оси
x
на интервале
[]
,ab,
существует. Это вытекает из свойств множества полиномов Чебышева
(степени m )
(
)
, 0,1,.......
m
Tx m
∞
= , определенных на интервале 11
x
−≤ ≤.
Система полиномов Чебышева на интервале
[
]
1,1
−
определяется
следующим рекуррентным соотношением
(
)
(
)
() () ()
01
11
1, ,
2.
mmm
Tx Tx x
Tx xTxTx
+−
⋅⋅ −
==
=
Решение этого соотношения имеет вид
()
(
)
(
)
22
1
11
2
0,1...., 1 1
mm
m
Tx x x x x
nx
⎛⎞
⋅+ −+− −
⎜⎟
⎝⎠
−≤ ≤
=
=
. (1.10)
Существует другая форма записи полиномов Чебышева
(
)
(
)
(
)
cos arccos
m
Tx m x⋅= , (1.11)
что легко проверить, воспользовавшись тригонометрической формулой
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
cos 1 2 cos cos cos 1mmm
θ
θθ θ
+⋅⋅⋅−−= .
Из
(1.11) следует, что
(
)
1
m
Tx
≤
при 1x
≤
. Полиномы
(
)
m
Tx имеют нули в
точках

Страницы