Составители:
8
Соответствующие полиномы Лагранжа для двух сеток равны
()
()
1
0
1
0
1: 1
2: 2
n
k
k
k
n
k
k
k
L
xax
L
xax
−
=
−
=
=⋅
=⋅
∑
∑
.
Изучим вопрос оценки погрешности интерполирования. Тот факт, что
погрешность интерполирования сложной функции интерполирующим
полиномом может быть малой, следует из теоремы Вейерштрасса:
• Теорема:
Если функция
(
)
f
x непрерывна на отрезке
[
]
,ab, то для любого 0
ε
>
существует многочлен
(
)
m
Px степени
(
)
mm
ε
=
, абсолютное
отклонение которого от функции
(
)
f
x на
[
]
,ab меньше
ε
:
[]
(
)
(
)
,
max
m
ab
fx P x
ε
−<. •
Допустим, интерполируемая функция конечна в узлах. Тогда погрешность
интерполирования с помощью полинома Лагранжа
(1.3) в точке
x
имеет
вид
(
)
(
)
(
)
R
xfxLx−= .
Очевидно на узлах
m
x
погрешность
(
)
0, 0,1.... 1
m
R
xmn−== . Величина
погрешности между узлами определяется свойствами функции
(
)
f
x ,
числом и расположением узлов интерполирования. Допустим,
интерполируемая функция n раз дифференцируема. Определим
вспомогательный полином степени n , имеющий нули на узлах сетки и
единичный коэффициент при старшей степени
()
()
1
0
n
k
k
x
xx
Ω
−
=
−
∏
= . (1.6)
Составим вспомогательную функцию
(
)
(
)
(
)
(
)
x
fx Lx K x
ΦΩ
−−⋅= .
Здесь axb≤≤ - произвольная точка, где нас интересует величина
погрешности. Подберем параметр
K
так, чтобы функция
(
)
x
Φ
обратилась в ноль в выбранной точке
x
.
(
)
(
)
()
f
xLx
K
x
Ω
−
= . (1.7)
При таком выборе
K
функция
(
)
x
Φ
обращается в ноль в 1n + точке в
интервале
[]
,ab. Тогда ее первая производная обратится в ноль n раз, а n
- ая производная обратится в ноль один раз в некоторой точке
ab
ζ
≤≤.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
