Численные методы. Мирошниченко Г.П - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

105
случае выходной сигнал
(
)
yk в линейном дискретном фильтре в момент
времени k имеет вид линейной комбинации с весовыми коэффициентами
некоторого количества входных отсчетов вплоть до k - ого и некоторого
количества выходных отсчетов. Другими словами временной сигнал
удовлетворяет разностному уравнению
(
)
(
)
(
)
() ( ) ( )
()
1
1
1...
1...
n
m
yk a yk a yk n
x
kbxk bxkm
κ
+⋅ −++⋅ −
⋅+⋅−+⋅−
=
=
. (12.16)
Адекватный математический аппарат, применимый для анализа таких
дискретных последовательностей есть Z – преобразование Лапласа
(другое название – дискретное преобразование Лапласа). Z –
преобразование ставит в соответствие дискретной последовательности
(
)
x
k функцию
(
)
Xz, вообще говоря, комплексной переменной z , по
правилу
() ()
0
k
k
Xz xk z
∞
−
=
⋅
∑
= . (12.17)
Естественно, степенной ряд Лорана определен в своем кольце сходимости.
Дискретное Z – преобразование связано с интегральными
преобразованиями Лапласа и Фурье. Преобразование Лапласа для
функции
(
)
s
t определяется так
() ()
0
pt
Sp st e dt
∞
−⋅
⋅
∫
= . (12.18)
Сопоставим последовательности временных отсчетов сигнала
(
)
{
}
,0,1...xk k= , полученных с шагом дискретизации T , временной
сигнал в виде
() ( ) ( )
0k
s
txktkT
δ
∞
=
⋅−⋅
∑
= . (12.19)
Здесь
(
)
t
- обобщенная
δ
- функция, равная 0 во всех точках, кроме
0t = , где она бесконечна. Для
(
)
t
выполнено:
()
1tdt
δ
Δ
−Δ
∫
=
. Подставим
(12.19) в (12.18), получим связь интегрального преобразования Лапласа
()
Sp и дискретного Z – преобразования в виде
()
()
() ()
1
,ln
pT
Sp Xe Xz S z
T
⋅
⎛⎞
⋅
⎜⎟
⎝⎠
==
.
Интегральное преобразование Фурье для функции
(
)
s
t определяется так
() ()
it
Sstedt
ω
ω
∞
−⋅ ⋅
−∞
⋅
∫
&
= .

Страницы