Численные методы. Мирошниченко Г.П - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

111
12.3. Дискретный WKB метод
Теория линейных разностных уравнений с переменными
коэффициентами значительно сложнее теории линейных разностных
уравнений с постоянными коэффициентами. Для анализа эрмитовских
трехчленных линейных рекуррентных соотношений с переменными
коэффициентами в работе [18] развит так называемый дискретный WKB
метод. Аббревиатура содержит начальные буквы фамилий авторов
(Wentzel, Kramers, Brillouin
), развивших похожий метод для обычных
дифференциальных уравнений второго порядка. Эрмитовское однородное
трехчленное рекуррентное соотношение записывается в виде
(
)
(
)
(
)
(
)
11
10
jjj
pj C wj E C pj C
−+
⋅+ −⋅++⋅= . (12.29)
Здесь
{
}
, 0, 1, 2....
j
Cj ±±= - искомая последовательность,
(
)
(
)
{
}
, 0,1,2....pj wj j ±±= - вещественные коэффициенты, “плавно”
зависящие от номера,
E
- вещественный спектральный параметр. Для
примера рассмотрим трехчленное рекуррентное соотношение для функций
Бесселя
() ()( )
2
1, , 1,
Jz JzJz
z
ν
ννν
⋅
+⋅−−
= . (12.30)
Здесь
ν
- произвольное число – порядок функции, z - ее аргумент. Ради
простоты положим
ν
- не целое, z - вещественное, положительное.
Соотношение
(12.30) генерирует последовательность функций Бесселя
при заданном
z и
ν
, порядки которых отличаются друг от друга на
произвольное целое положительное или отрицательное число.
Дифференциальное уравнение для функций Бесселя имеет вид
()
2
222
2
,0
dd
zzzJz
dz dz
νν
⎛⎞
⋅+⋅+−
⎜⎟
⎝⎠
= .
Функции Бесселя находят широкое применение в механике, например, для
описания движения планет, в оптике, например, для описания поля в
цилиндрическом волноводе и в целом ряде других случаев. Соотношение
(12.30) имеет много решений, среди которых выделяют функции Бесселя
первого рода, которые можно выразить степенным рядом
(12.31)
()
()
()
2
0
1
2
,:
!1
n
n
n
z
Jz
nn
μ
μ
μ
⋅+
∞
=
⎛⎞
−⋅
⎜⎟
⎝⎠
=
⋅
Γ++
∑
.
Здесь
(
ν
Γ - известная гамма-функция. Перепишем (12.30) в форме
соотношения
(12.29). Для этого обозначим
(12.32)
()
2
:
j
wj
z
⋅
=− ,

Страницы