Составители:
14
Найдем интерполирующую функцию, совпадающую с
(
)
f
x на узлах и
имеющую непрерывные первую и вторую производные в каждой точке
интервала
[]
,ab . Для этого на каждом интервале k зададим кубичный
полином, определяемый четырьмя коэффициентами
,
j
k
b
(
)
23
31,2,3,4,
,,
0,1... 2.
kk k k
Pkx b b x b x b x
kn
+⋅+⋅+⋅
−
=
=
Полную интерполирующую функцию (сплайн) составим из отдельных
полиномов, определенных на каждом интервале. Для обеспечения
гладкости (непрерывность второй производной) на каждой границе
интервалов интерполирования полиномы “сшиваются” с помощью
соответствующего выбора неизвестных коэффициентов. Всего неизвестно
(
)
41n⋅− коэффициентов, для их нахождения требуется соответствующее
число уравнений. Запишем следующие 46n
⋅
− уравнения
(
)
()
()
()( )
()( )
()( )
31 1
30 0
311
313 1
313 1
313 1
1. , ,
2. 0, ,
3. 2, ,
4. , 1, ,
5. , 1, ,
6. , 1, ,
0,1..... 3.
kk
nn
kk
kk
kk
Pkx F
Px F
Pn x F
Pkx Pk x
Pkx Pk x
Pkx Pk x
kn
++
−−
++
++
++
−
+
′′
+
′′ ′′
+
−
=
=
=
=
=
=
=
(2.2)
В
(2.2) три уравнения 1, 2, 3, решают основную задачу интерполирования
– равенство значений интерполируемой и интерполирующей функций на
n узлах (n уравнений). Уравнения 4, 5, 6 (
(
)
32n
⋅
− уравнения)
обеспечивают требуемую гладкость: непрерывность сплайна, его первой и
второй производных на 2n
−
(внутренних) узлах. Осталось
сформулировать два последних уравнения. Эти два условия выбираются
из соображений удобства, их можно формулировать по-разному, в
зависимости от известных свойств интерполируемой функции. От их
выбора зависит погрешность интерполирования функции. Рассмотрим два
способа выбора последних двух условий. Способ первый: предполагается
известной вторая производная функции на краях интервала
() ()
()()
3
3
0, ,
2, .
Pafa
Pn b fb
′′
′′
′′
′′
−
=
=
(2.3)
Способ второй: “естественный”, применяется тогда, когда
дополнительных сведений об интерполируемой функции нет
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
