Численные методы. Мирошниченко Г.П - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

15
()
()
3
3
0, 0,
2, 0.
Pa
Pn b
′′
′′
−
=
=
(2.4)
Можно показать, что существует сокращенный набор параметров
, 1,2..... 2
k
Mk n−= в количестве 2n
−
, достаточный для построения
кубического сплайна. В качестве этого набора можно выбрать величины
вторых производных на внутренних (
1, 2... 2kn
−
=
) узлах
()
3
,,
1, 2.... 2.
kk
MPkx
kn
′′
−
=
=
(2.5)
Компоненты
0
M
и
1n
M
−
(вторые производные на граничных узлах)
определяются для двух способов выбора согласно
(2.3), (2.4). Для
реализации этой идеи сокращенного числа параметров необходимо
кубичный полином выбрать специальным образом, выразив его через
параметры
k
M
()
() ()
() ()
33
1
31
22
1
1
1
,
66
,
66
0,1..... 2.
kk
kk
kk
kk k k
kk
kk
kk
xy yx
Pky M M
hh
Mh M h
x
yyx
FF
hh
kn
+
+
+
+
+
−−
⋅+⋅+
⋅⋅
⎛⎞⎛ ⎞
⋅⋅
−−
+− ⋅ + − ⋅
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
−
=
=
(2.6)
Нетрудно показать, что набора параметров
(2.5) достаточно, чтобы с
помощью полинома
(2.6) решить задачу построения сплайна (2.2).
Уравнения 1 – 4, 6 с помощью
(2.6) удовлетворяются автоматически.
Уравнения 5 (всего 2n − уравнения) необходимо использовать для
нахождения неизвестных 2n − параметров
k
M
. Это линейные уравнения
и легко решаются средствами любого математического пакета. Удобно
вместо вектора
k
M
ввести вспомогательный вектор
k
Q , связанный с
k
M
соотношением (сдвиг нумерации на единицу)
1
, 0,1..... 3
kk
MQk n
+
−== .
Система уравнений 5
(2.2), выраженная через
k
Q , имеет вид
11
11
121
1
66 3
.
kkkk
kkk
kk k k
kk
hhhh
QQQ
FF F F
hh
++
+−
+++
+
+
⋅+⋅+⋅
−−
+
=
=
(2.7)
Заполним матрицу W размерности 22nn
−
⊗− системы (2.7)

Страницы