Численные методы. Мирошниченко Г.П - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

17
определения сплайнов (2.3), (2.4), (2.8) . По аналогии составим таблицу
интерполяции для первой и второй производных функции
()
f
x с
помощью соответственно первой и второй производных сплайна
(
)
Sy.
Как показывает теория, погрешность интерполяции функции и ее
производных для первого способа задания сплайна
(2.3) можно оценить по
формуле
()
(
)
()
(
)
()
(
)
4
4
max max ,
0,1,2
rr
r
axb axb
f
xSx h f x
r
−
≤≤ ≤≤
−≤⋅
=
. (2.10)
Формула применима, по крайней мере, для четырехкратно непрерывно
дифференцируемых функций
(
)
f
x . Здесь символом
(
)
(
)
r
f
x обозначена r
- ая производная. Погрешность интерполирования для сплайна с
граничными условиями
(2.4) больше и оценивается, как
(
)
2
Oh .
Увеличение погрешности следует ожидать для функций, у которых вторые
производные на краях интервала не равны нулю. При этом погрешность
локализуется на краях интервала интерполяции. Величина погрешности
уменьшается при удалении от краев. Это свойство локализации
погрешности очень интересно и его можно проверить, например,
следующим способом. Внесем искусственно небольшую погрешность в
значение
интерполируемой функции на каком-либо узле (добавим к какой-
нибудь компоненте вектора
k
F небольшую добавку
δ
). Изучим
графически, как погрешность “распространяется” на соседние узлы.
“Естественный” кубический сплайн с граничным условием
(2.4) обладает
важным экстремальным свойством, о котором следующая
• Теорема:
Пусть на сетке узлов
01 1
...
n
ax x x b
−
<<==заданы числа
{
}
1
0
n
i
i
y
−
=
(значения интерполируемой функции). Среди всех дважды непрерывно
дифференцируемых функций, таких, что
(
)
ii
f
xy= ,
() ()
0fa fb
′′ ′′
==,
на “естественном” сплайне достигается минимум функционала
() ()
()
2
b
a
Ff f x dx
′′
∫
=
(свойство минимальной кривизны).
•
Эта теорема может быть проверена численно.
Задания к работе
1. Выбрать исходные данные: интерполируемую функцию
(
)
f
x ,
границы интервала интерполяции a и b, число узлов интерполяции
n . Составить программу, используя формулы, записанные в
описании справа.

Страницы