Численные методы. Мирошниченко Г.П - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

20
Определим шаг сетки частот
ω
Δ
2
:
T
π
ω
⋅
Δ= .
Введем равномерную сетку частот
ω
(3.3)
:
2
k
M
k
ωω
⎛⎞
=Δ ⋅ −
⎜⎟
⎝⎠
.
Существенно, что частоты расположены симметрично относительно нуля
2
:0
M
ω
= и принимают положительные и отрицательные значения ( 2M
положительных и
2M отрицательных значений). Введем базисный набор
функций
(
)
,kt
- экспонент, из которых далее будет скомбинирована
интерполирующая функция
(3.4)
(
)
(
)
,:exp
k
kt i t
φ
ω
=⋅⋅.
Зададим функции базисного набора
(3.4) на узлах (3.1). Получим матрицу
W , где в каждый столбик записаны значения соответствующей базисной
функции на узлах
(3.5)
()
,
:0..
:,
km k
mM
Wm
φ
τ
=
=
.
Интерполирующую функцию строим как линейную комбинацию
базисных функций
(
)
,kt
φ
по формуле
() ( )
0
,
M
m
m
Pt F mt
φ
=
Ω⋅
∑
= . (3.6)
Система линейных уравнений (для неизвестных коэффициентов
m
F
Ω
),
решающая задачу интерполяции, имеет вид
,
0
M
kmkm
m
FFW
=
Ω⋅
∑
= . (3.7)
Здесь использованы формулы
(3.2), (3.5), (3.6). Перепишем (3.7) в
векторных обозначениях
0
M
m
m
m
FFW
=
Ω⋅
∑
= . (3.8)
В
(3.8) использован вектор F (3.2) и обозначен вектор
m
W - m - ый
столбик матрицы W
(3.5) (значения m - ой базисной функции на узлах
(3.1)). Векторы
{
}
, 0,1...
m
Wm M= обладают замечательным свойством:
они образуют ортонормированный базис во множестве
1
M
+
- мерных
векторов, имеющих, вообще говоря, комплексные координаты.
Ортонормированность можно проверить аналитически или численно,
определив скалярное произведение
(
)
,SAB комплексных векторов
A
и
B
по формуле (черта сверху обозначает комплексное сопряжение)

Страницы