Численные методы. Мирошниченко Г.П - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

30
5. Сходимость рядов Фурье
В задаче линейного интерполирования интерполирующая функция
выбирается в виде линейной комбинации линейно независимого набора
функций. Количество таких функций должно равняться количеству узлов
сетки интерполирования. Погрешность интерполирования (для достаточно
гладких функций) убывает с ростом числа узлов на интервале
интерполяции. Возникает естественное предположение увеличить (в
пределе до бесконечности) число узлов интерполяции и
в результате
получить “идеальную” интерполирующую функцию. При таком
предельном переходе бесконечное, но счетное множество узлов сетки
интерполирования разместится на конечном отрезке
[
]
,ab вещественной
прямой. Эти узлы займут не все точки отрезка, но заполнят его всюду
плотно, так, что в окрестности любой точки отрезка расположится
бесконечное число узлов. В математическом анализе доказывается, что
скалярное произведение, определяемое для дискретного ряда Фурье
формулой
() ()
1
0
1
b
M
mm
M
m
a
f
gftgtdt
M
−
→∞
=
⋅→
∑
∫
,
где векторы
m
f
и
m
g
есть значения функций
(
)
f
t и
(
)
gt на узлах сетки
{
}
;0,1...1
m
at bm M≤≤ −= , в пределе
→∞ будет пропорционально
интегралу от этих функций по интервалу
[
]
,ab. Это верно, если
соответствующие интегралы сходятся, функции квадратично
интегрируемы. В этом пределе интерполирующая функция, построенная ,
например, с помощью коэффициентов дискретного Фурье -
преобразования на базисе тригонометрических функций, переходит в
тригонометрический (непрерывный, в отличие от дискретного) ряд Фурье
[3], [4]
()
()
(
)
()
()
12
12
exp exp
M
kk k
M
kM k
FitCkit
ωω
−
∞
→∞
=− − =−∞
Ω⋅ ⋅ ⋅ → ⋅ ⋅ ⋅
∑∑
. (5.1)
Здесь
k
FΩ ,
()
Ck - коэффициенты соответственно дискретного и
непрерывного Фурье – преобразования.
Эти наводящие соображения можно использовать, чтобы развить теорию
аппроксимации заданной функции на выбранном отрезке с помощью
(бесконечного) ряда Фурье. В отличие от задачи интерполяции задача
аппроксимации ставится так. Рассматривается множество, например,
квадратично интегрируемых на отрезке
[
]
,ab, вообще говоря,
комплекснозначных функций
(
)
f
t (пространство
2
L
)

Страницы