Численные методы. Мирошниченко Г.П - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

31
()
2
b
a
ft dt<∞
∫
. (5.2)
В этом множестве естественным образом вводят линейные операции
умножения элементов множества (функций) на числа и их сложение.
Определяют операцию скалярного произведения функций (векторов)
множества, как интеграл по отрезку
() ()
()
() ()
,
b
a
f
tgt ftgtdt⋅
∫
= . (5.3)
Здесь черта сверху обозначает комплексное сопряжение. Вводят норму
вектора
() ()
2
b
a
Nf ft dt
∫
=
и определяют расстояние между векторами - метрику
( ) () ()
2
,
b
a
f
gftgtdt
ρ
−
∫
= . (5.4)
Полное по норме линейное нормированное множество со скалярным
произведением
(5.3) становится гильбертовым пространством. Далее
будем рассматривать гильбертово пространство
2
L
(5.2) на
[]
,ab. В этом
пространстве выберем полный ортонормированный базисный набор
функций
()
{
}
, , 1,2.....nt n
ϕ
= , такой, что
()( )
(
)
,
, , , , , 1,2,3.....
nm
nt mt nm
ϕϕ δ
==,
где
,nm
δ
- символ Кронекера. Выберем произвольную квадратично
интегрируемую функцию
()
f
t и разложим ее по выбранному базису. Для
этого найдем ее “координаты” в этом базисе – коэффициенты Фурье
(
)
(
)
(
)
(
)
, , , 1,2.....Cn f t nt n
ϕ
==
. (5.5)
Составим частичную сумму обобщенного ряда Фурье
() ()()
1
,,
k
n
Fkt Cn nt
ϕ
=
⋅
∑
= . (5.6)
Ряд Фурье выбранной функции
(
)
f
t - это предел частичных сумм
() ( ) ( )
1
lim ,
k
k
n
Ft Cn nt
ϕ
→∞
=
⋅
∑
= . (5.7)
Необходимо исследовать вопрос о сходимости данного ряда. Убедимся,
что частичная сумма
(5.6) обладает свойством наилучшего приближения в
среднем функции
()
f
t . Это свойство означает, что из всех функций,
принадлежащих линейной оболочке, построенной на элементах базиса с

Страницы