Численные методы. Мирошниченко Г.П - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

32
номерами от 1 до k, именно частичная сумма
(
)
,Fkt наименее удалена от
функции
()
f
t в смысле расстояния (5.4). Для доказательства выберем
произвольную линейную комбинацию с коэффициентами
{
}
, 1,2.....
n
n
α
=
() ( )
1
,
k
n
n
Gt nt
αϕ
=
⋅
∑
=
и найдем квадрат расстояния от
(
)
Gt до
(
)
f
t по формуле (5.4)
() () ()
()
2
2
1
1
,,,..
b
k
nk
n
a
fG f t nt dt R
ρ
αϕ αα
=
−⋅
∑
∫
==.
Эта величина
(
)
1
,..
k
R
α
α
положительна и зависит от всех коэффициентов
линейной комбинации. Воспользовавшись свойством
ортонормированности базиса и определением
(5.5), запишем
()
1
,..
k
R
α
α
в
виде
()
() ()
2
2
1
11
,.. 2
kk
knn
nn
RNf Cn
α
ααα
==
−⋅ ⋅ +
∑∑
= . (5.8)
Здесь для упрощения полагаем, что коэффициенты
n
и
(
)
Cn
вещественны. Из этого соотношения следует, что минимальное значение
расстояния получается при равенстве
(
)
,1,2...
n
Cn n k
α
==. (5.9)
Подставим
(5.9) в (5.8), получим в пределе
()
() () () ()
22 22
1
11
0,..
k
k
k
nn
R
Nf Cn Nf Cn
αα
∞
→∞
==
≤−⎯⎯⎯→−
∑∑
= .
Или в другой записи имеем неравенство Бесселя для квадратов модулей
коэффициентов Фурье
() ()
2
2
1n
Nf Cn
∞
=
≥
∑
.
Если выбранный базис полный, то неравенство Бесселя переходит в
равенство Парсеваля
() ()
2
2
1n
Nf Cn
∞
=
∑
= . (5.10)
Отсюда следует, что числовой ряд для квадратов модулей коэффициентов
Фурье для функции из
2
L
сходится. Можно показать, используя свойство
полноты ортонормированного базиса и свойство полноты гильбертова
пространства
2
L
, что частичная сумма ряда (5.6) сходится к исходной
функции
()
f
t в среднем, то есть

Страницы