Составители:
34
Тогда частичная сумма ряда Фурье, построенная на 21
2
M
pp
⎛⎞
⋅+ ≤
⎜⎟
⎝⎠
базисном элементе равна
(5.12)
() ()()
,: ,
p
np
Fpt Cn nt
ϕ
=−
=⋅
∑
.
Очевидно, с помощью компьютера невозможно воспроизвести весь
бесконечный ряд Фурье
(5.1) выбранной функции. Поэтому ряд
приходится обрывать, то есть использовать частичную сумму ряда
(5.12),
вместо полной суммы, в результате чего возникает погрешность
аппроксимации функции. Сравним качественно графики функции
(
)
f
t и
частичной суммы ее ряда Фурье в зависимости от числа учтенных
слагаемых
p
. Найдем разность
p
Nf
Δ
квадрата нормы (5.11) функции
(
)
f
t
и квадрата нормы частичной суммы ряда
(5.12)
:0..
2
M
p =
(5.13)
()
2
2
:
p
p
kp
Nf Nf C k
=−
Δ= −
∑
.
Численно убедимся, что с ростом числа учтенных слагаемых неравенство
Бесселя приближается к равенству Парсеваля. Как показывает теория,
числовой ряд из квадратов модулей коэффициентов Фурье для функций из
2
L
сходится. Численно оценим скорость убывания коэффициентов,
умножив
()
2
Cn на n
ε
(5.14)
()
2
:
n
CCnn
ε
Δ= ⋅
и оценим показатель
ε
, при котором получается убывание.
Сравнить функцию
(
)
f
t и ее ряд Фурье
(
)
Ft (5.7) в каждой точке на
интервале
[]
,ab можно с помощью понятия поточечной сходимости. Для
этого близость двух функций будем оценивать с помощью расстояния,
вычисляемого по формуле
(
)
(
)
(
)
,max
c
atb
f
gftgt
ρ
≤≤
−= . (5.15)
Сформулируем известную теорему Дирихле о поточечной сходимости
ряда Фурье по тригонометрической системе функций. Говорят, что
функция удовлетворяет условиям Дирихле
на интервале
[
]
,ab, если она или
непрерывна на этом интервале или имеет на
[
]
,ab конечное число
разрывов первого рода. Для функций, удовлетворяющих условиям
Дирихле справедлива:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
