Составители:
36
сходится. •
Соотношение
(5.16) означает, что
(
)
1
0
q
k
Ck k
+
→∞
⋅⎯⎯⎯→ .
Из последней теоремы следует оценка погрешности, которая возникает
при замене суммы тригонометрического ряда Фурье его частичной
суммой. При выполнении условия гладкости функции порядка q на
интервале
[]
,ab получаем оценку модуля остатка (хвоста) ряда Фурье, то
есть оценку погрешности замены ряда на частичную сумму, содержащую
21
p
⋅+ слагаемое, в зависимости от степени гладкости
() ()()
()
() ()
0.5
1
,,,max,
c
q
atb
Fqp ft F pt F pt ft O
p
ρ
+
≤≤
⎛⎞
Δ−
⎜⎟
⎝⎠
== =. (5.17)
Это соотношение означает, что
(
)
0.5
lim ,
q
p
Fqp p
+
→∞
Δ⋅ конечен при всех q .
Проверим высказанные положения численно. Для этой цели зададим две
функции
(
)
0
f
t и
(
)
1
f
t , имеющие степень гладкости 0q = и 1q
=
соответственно. Для получения функции
(
)
0
f
t вначале выберем
произвольную непрерывную функцию
(
)
t
ϕ
(
)
:t
ϕ
=
♦
а затем “исправим” ее, добавив линейное по аргументу
t слагаемое с
произвольным параметром
α
. Подберем
α
так, чтобы сумма
(
)
tt
ϕ
α
+⋅
оказалась бы функцией гладкости 0q
=
(5.18)
(
)
(
)
0:
f
ttt
ϕ
α
=+⋅.
Для получения функции гладкости 1q
= выберем произвольную функцию
()
:t
χ
=
♦
и “исправим” ее, добавив линейное и квадратичное по аргументу
t
слагаемое с произвольными параметрами
α
и
β
. Тогда
(5.19)
(
)
(
)
2
1:
f
tttt
ϕ
αβ
=
+⋅+⋅
.
Подберем параметры
α
и
β
так, чтобы
(
)
1
f
t оказалась бы функцией
гладкости 1q = . Найдем коэффициенты Фурье для
(
)
0
f
t и
(
)
1
f
t
()
0: 0 ,
2
b
m
a
M
cftmtdt
ϕ
⎛⎞
=⋅−
⎜⎟
⎝⎠
∫
,
(
)
2
0:0
M
n
Cn c
+
= ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
