Численные методы. Мирошниченко Г.П - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

35
• Теорема Дирихле. Если
(
)
f
t, заданная на
[
]
,ab, удовлетворяет
условиям Дирихле
на этом интервале, то ряд Фурье этой функции
сходится на всем интервале
[
]
,ab и сумма этого ряда:
1) равна
(
)
f
t во всех точках непрерывности
(
)
f
t, лежащих внутри
интервала;
2) равна
(
)
(
)
00
2
ft ft++ −
во всех точках разрыва непрерывности;
3) равна
(
)
(
)
00
2
fa fb++ −
на концах интервала, то есть в точках ta
= и tb= . •
Обрыв ряда Фурье приводит к появлению дополнительной погрешности
аппроксимации функции. Сформулируем известные теоремы о связи
степени гладкости функции и скорости сходимости ее
тригонометрического ряда Фурье, с помощью которых можно оценить
погрешность аппроксимации в каждой точке на интервале
[]
,ab. Вначале
дадим определение понятию: гладкость функции порядка q. Это:
•
Определение. Функцию
(
)
f
t назовем гладкой порядка q на
интервале
[]
,ab, если сама функция
(
)
f
t и ее производные до порядка q
включительно
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,....,
q
f
tft непрерывны на интервале
[]
,ab и
имеют равные значения на краях интервала
(
)
(
)
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
(
)
11
0 0 , 0 0 , ..., 0 0
qq
fa fb f a f b f a f b+− + − + −== =
.
Для функций, имеющих гладкость порядка q справедлива:
• Теорема. Если функция
(
)
f
t на интервале
[
]
,ab имеет гладкость
порядка q, а ее 1q + производная
(
)
(
)
1q
f
t
+
на
[
]
,ab кусочно-непрерывна
(то есть имеет конечное число разрывов первого рода на
[]
,ab), то для
коэффициентов Фурье функции по тригонометрической системе
справедлива оценка
()
1
1
q
Ck o
k
+
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
= (5.16)
и ряд
()
1
, 0,1...
k
kCk q
ν
ν
∞
=
⋅
∑
=

Страницы