Численные методы. Мирошниченко Г.П - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

40
6. Формула Грина – Римана, теорема Стокса
6.1. Первая и вторая формулы Грина-Римана
Рассмотрим криволинейный интеграл по кривой
(
)
,yx
ψ
γ
= на
плоскости
x
y , проходящей через две заданные точки
(
)
,
A
xa ya и
(
)
,
B
xb yb
:: : :
x
aya xb yb
=
♦=♦ =♦ =♦.
Форму кривой можно изменять при помощи параметра
γ
, при этом точки
и
B
на плоскости не должны зависеть от параметра
γ
. Получить такую
функцию
(
)
,
x
ψ
γ
можно, например, так. Выберем произвольную функцию
(
)
,
f
x
γ
и добавим к ней линейные слагаемые
(
)
(
)
x
α
γβγ
⋅
+ . Подберем
функции
(
)
α
γ
и
(
)
β
γ
так, чтобы выполнились два условия
неподвижности точек
A
и
B
на плоскости при изменении параметра
γ
(
)
,:fx
γ
=♦ ,
(
)
(
)
::
α
γβγ
=
♦=♦ ,
(
)
(
)
(
)
(
)
,: ,xfx x
ψ
γγαγβγ
=
+⋅+ .
Проверим графически свойство функции
(
)
,
x
ψ
γ
, построив два графика
при двух значениях параметра
1: 2:
γ
γ
=
♦=♦ .
Получим замкнутый контур
Γ
на плоскости
x
y , охватывающий область
Dxy . Зададим на плоскости силовое поле
(
)
(
)
,: ,:Pxy Qxy
=
♦=♦ ,
()
(
)
()
,
F, :
,
Pxy
xy
Qxy
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Как известно, для односвязной области, в которой функции
(
)
,Pxy и
(
)
,Qxy не имеют особенностей, необходимое и достаточное условие
независимости криволинейного интеграла
(
)
(
)
,,
AB
I
Pxydx Qxydy+
∫
= по
кривой
A
B от пути является выполнение равенства Римана [3]
() ()
,,Pxy Qxy
yx
∂∂
∂∂
=
. (6.1)
Проверим это утверждение численно. Для этого определим вектор
касательной к кривой

Страницы