Численные методы. Мирошниченко Г.П - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

49
7. Теорема Остроградского – Гаусса
Математическая теорема Остроградского – Гаусса широко применяется
физике и технике для формулировки различных законов сохранения.
Рассмотрим стационарный поток жидкости и охарактеризуем его вектором
плотности потока массы
()
S,,
x
yz , имеющем размерность
(
)
2
г сек см⋅ .
Плотность потока задана в каждой точке
(
)
r,,
x
yz в момент времени t .
Выделим внутри потока объем V с поверхностью
Σ
, ориентированной
внешней единичной нормалью к поверхности
(
)
n,,
x
yz . Тогда количество
жидкости (массы)
()
,,dΦ xyz (размерность г сек ), протекающее через
ориентированный элемент поверхности
(
)
,,dxyz
Σ
за секунду (поток через
(
)
,,dxyzΣ ) равен
(
)
(
)
(
)
(
)
,, S ,, , ,,dΦ xyz xyz d xyzΣ= .
Элемент поверхности
(
)
,,dxyzΣ ориентирован по внешней нормали
(
)
n,,
x
yz и расположен в точке
(
)
r,,
x
yz на поверхности
Σ
. Знак элемента
потока
()
,,dΦ xyz имеет смысл: положительный – в данной точке
жидкость вытекает из элемента поверхности, отрицательный - в данной
точке жидкость втекает внутрь
(
)
,,dxyz
Σ
. Разобьем всю замкнутую
поверхность
Σ
на малые элементы, просуммируем все элементарные
потоки по поверхности, получим полный поток Φ через замкнутую
поверхность. Смысл потока – полная масса жидкости, вытекающей и
втекающей за секунду через всю замкнутую поверхность (с учетом знака).
Очевидно, Φ вычисляется с помощью поверхностного интеграла
()()
(
)
S,,, ,,Φ xyz d xyz
Σ
Σ
∫∫
= . (7.1)
Вектор
()
S,,
x
yz направлен по касательной в каждой точке к линии тока.
Если жидкость создается источником, который расположен вне
рассматриваемого замкнутого объема, а внутри объема отсутствуют стоки
(точки, где жидкость исчезает) и источники (точки, где жидкость может
возникать), то поток Φ такой жидкости через
Σ
равен нулю. Количество
втекающей в объем и вытекающей из объема жидкости за секунду
одинаково. Если же внутри выделенного объема имеются источники
жидкости или ее стоки, то поток будет не ноль. Количество жидкости,
возникающей (или исчезающей, в зависимости от знака) в единице объема
в окрестности точки
(
)
r,,
x
yz определяется дивергенцией вектора
плотности потока

Страницы