Численные методы. Мирошниченко Г.П - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

58
8. Численное решение систем обыкновенных
дифференциальных уравнений и исследование
особых решений
8.1. Схема Рунге – Кутта
Численные методы построения решения систем обыкновенных
дифференциальных уравнений на сетке узлов весьма разнообразны.
Изучим возможности наиболее распространенного и вместе с тем
простого метода Рунге – Кутта [1], [2], [5], [7], [9], [10]. Общая идея
построения приближенного одношагового метода состоит в следующем.
Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений
первого порядка
() ()
()
()
0
,
0
tt
d
yt Ftyt
dt
yt Y
=
=
=
. (8.1)
Здесь
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
01 1
, .....,
n
yt yt yt yt
−
= - n – мерный вектор, зависящий от
вещественной переменной t . Правая часть
(
)
(
)
,Ftyt - n – мерный вектор,
зависящий от n+1 переменной
(
)
01 1
;,...
n
tx x x
−
. Если правая часть не зависит
явно от аргумента
t
, то такая система называется автономной. Зададим
сетку узлов аргумента t на интервале 01ttt
≤
≤ , на котором необходимо
решение и для которого выполнены условия существования и
единственности решения системы
(8.1). Для простоты сетка выбирается
равномерной с шагом h , число узлов сетки N
(8.2)
0: 1:
:
10
:
1
:0.. 1
:0
k
tt
N
tt
h
N
kN
tthk
=♦ =♦
=♦
−
=
−
=−
=+⋅
.
Рассмотрим интервал изменения аргумента шириной в один шаг сетки,
начинающийся в произвольной точке t и заканчивающийся в точке th
+
.
Проинтегрируем левую часть уравнения
(8.1) по этому интервалу,
получим соотношение
()() ()
0
h
d
yt h yt y t d
d
τ
τ
τ
+++⋅
∫
= . (8.3)

Страницы