Численные методы. Мирошниченко Г.П - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

59
Для построения приближенного метода необходимо оценить правую часть
(8.3). Возьмем интеграл приближенно, методом “прямоугольников” (без
центральной точки). Получаем соотношение
()() ()
()
2
d
yt h yt h yt Oh
dt
++⋅+= . (8.4)
Подставим
(8.1) в (8.4), получим
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
,yt h yt hFtyt Oh++⋅ += .
Отбрасывая слагаемые порядка
2
h , получаем приближенный метод Эйлера
решения системы уравнений. Обозначим
k
y - значение функции
(
)
yt на k
узле
(
)
kk
yyt= .
Получаем рекуррентное соотношение метода Эйлера
(
)
1
, 0,1... 1
kk kk
yyhFtyk N
+
+⋅ −==.
Уточним метод, взяв интеграл
(8.3) по “трапециям”. Получаем
()() ()
()
()
()
()
()
3
,,
2
h
yt h yt Ftyt Ft hyt h Oh++⋅ ++++=
.
Неявная формула метода (Адамар) имеет вид
()( )
()
111
,,0,1...1
2
kk kk kk
h
yy FxyFxy k N
+++
+⋅ + −==. (8.5)
Для того чтобы сделать схему явной, заменим правую часть формулы
(8.5)
приближенным выражением
11
1
kk
yy
+
+
≈
, которое, тем не менее,
обеспечило бы требуемую точность
(
)
3
Oh на каждом шаге вычислений.
Очевидно,
1
1
k
y
+
достаточно найти с точностью
(
)
2
Oh , тогда требуемая
точность будет обеспечена. Такую точность как раз обеспечивает метод
Эйлера. Получаем метод Рунге – Кутта с одной итерацией (один из
семейства методов Рунге – Кутта). Реализуем метод
(8.6)
()
()
()( )
()
0
1
111
0
0.. 2
1,
0, 0, , , , :
,,1
2
nn nn
nn nn nn
yY
for n N
yyhFty
RK t Y F N h t
h
yy FtyFty
y
+
+++
←
∈−
←+⋅
=
←+⋅ +
.
В качестве аргументов у функции
(
)
0, 0, , , ,
R
Kt Y FNht выбраны все
необходимые для запуска программы величины. Точность приближенного
решения, полученного по схеме Рунге – Кутта с одной итерацией на всем
интервале
(
)
2
Oh .

Страницы