Численные методы. Мирошниченко Г.П - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

62
(
)
()
0
1
p
tys
qt ys
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
=
=
.
Исследуем тип точки покоя с помощью метода линеаризации. Найдем
собственные числа и собственные векторы матрицы
()
01
,
M
s M ys ys=
средствами математического пакета
(
)
01
:,
M
s M ys ys=
(
)
()
:
:
eigenvals Ms
U eigenvecs Ms
λ
=
=
.
По виду собственных чисел делаем вывод о типе точки покоя: устойчивый
узел, неустойчивый узел, седло, устойчивый фокус, неустойчивый фокус,
центр и так далее. Построим линеаризованное решение задачи Коши для
выбранной точки покоя для выбранных начальных данных. Представим
вектор решения
(
)
Yt в виде суммы
(8.10)
0:
0: 0
Y
YysY
Δ=♦
=+Δ
,
1
:0UY
α
−
=⋅Δ ,
(8.11)
(
)
(
)
(
)
01
0011
:0 exp expyt Y U t U t
αλαλ
=+⋅ ⋅ ⋅+⋅ ⋅ ⋅.
Здесь 0YΔ - вектор смещения из точки покоя, 0Y - вектор начальных
данных,
α
- вектор смещения в базисе
01
,UU. Начальный момент
времени выбран равным нулю, это не ограничивает общности из-за
автономности системы. Получим решение поставленной задачи Коши
численно. Для этого создадим схему Рунге – Кутта в упрощенном
варианте, для автономной системы
(8.12)
()
()
() ( )
()
0
1
11
0
0.. 2
1
0, , , :
1
2
nn n
nn n n
yY
for n N
yyhFy
RKa Y F N h
h
yy FyFy
y
+
++
←
∈−
←+⋅
=
←+⋅ +
.
Для запуска схемы введем правую часть
()
(
)
()
01
01
,
:
,
PY Y
Fa Y
QY Y
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
,
шаг и количество шагов
::hN=♦ =♦ .

Страницы