Составители:
63
Получим точное (численное) решение ye
(
)
:0,,,ye RKa Y Fa N h
=
.
Введем сетку узлов с шагом h и построим график на фазовой плоскости
точного решения ye и приближенного
(8.11), полученного методом
линеаризации. Удобно в одном графическом окне построить несколько
графиков для разных начальных данных. Сравнение позволит сделать
вывод о правильности определения типа точки покоя.
8.3. Устойчивость предельного цикла
В приложениях широко используется задача о колебательном движении
одной степени свободы системы, которая описывается двумя
автономными дифференциальными уравнениями первого порядка [13].
Здесь простейшим является приближение гармонических колебаний,
применимое тогда, когда возвращающая сила линейна по смещению из
положения равновесия. В специально выбранных единицах измерения
система уравнений имеет вид
()
0
1
d
yFly
dt
y
y
y
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=
=
. (8.13)
Здесь компонента
0
y имеет смысл смещения из положения равновесия,
компонента
1
y
определяет скорость изменения смещения. Вектор правой
части имеет вид
()
1
2
0
y
Fl y
y
ω
⎛⎞
⎜⎟
−⋅
⎝⎠
= .
Здесь компонента
(
)
2
0
1
Fl y y
ω
−⋅= равна возвращающей силе, а
ω
равна
частоте колебаний (в выбранных единицах). Общее решение системы
(8.13) известно
()
(
)
()
cos
s
At
yt
Ain t
ωϕ
ω
ωϕ
⋅⋅−
⎛⎞
⎜⎟
−⋅⋅ ⋅−
⎝⎠
= . (8.14)
Здесь ,
A
ϕ
- произвольные, не зависящие от времени амплитуда и
начальная фаза гармонических колебаний. Для решения задачи Коши
можно задать начальную амплитуду 0
A
A= и фазу 0
ϕ
ϕ
= . Тогда
начальный (в момент 00t
= ) вектор 0y равен
(8.15)
()
(
)
()
0cos 0
00,0:
0s 0
A
yA
Ain
ϕ
ϕ
ωϕ
⋅
⎛⎞
=
⎜⎟
⋅⋅
⎝⎠
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
