Численные методы. Мирошниченко Г.П - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

64
Для начальных данных (8.15) решение (8.14) имеет вид
()
(
)
()
0cos 0
0s 0
At
yt
Ain t
ωϕ
ωωϕ
⋅⋅−
⎛⎞
⎜⎟
−⋅ ⋅ ⋅−
⎝⎠
= .
Благодаря автономности системы
(8.13), имеется интеграл движения –
полная энергия системы
(
)
(
)
22
222
01
0
E
yt yt A
ωω
⋅+=⋅=
.
Как следствие, траектории в фазовом пространстве замкнуты, имеют
форму эллипса с полуосями
{
}
0, 0
A
A
ω
⋅
. Добавим к возвращающей силе
нелинейное слагаемое
(
)
y
μ
ν
⋅ , величина которого управляется (малым)
параметром
:
μ
=♦ ,
(
)
:y
ν
=♦ .
Тогда правая часть системы
(8.13) с учетом нелинейности запишется
(8.16)
()
()
1
2
0
:
y
FN y
yy
ωμν
⎛⎞
=
⎜⎟
−⋅+⋅
⎝⎠
.
Уравнение нелинейных колебаний имеет вид
()
d
yFNy
dt
=
. (8.17)
Добавка нелинейности может существенно изменить характер
колебательного процесса. У системы уравнений могут появиться особые
решения – устойчивые или не устойчивые
предельные циклы. Малостью
параметра нелинейности 1
μ
<
можно воспользоваться, чтобы найти
приближенные решения системы. Воспользуемся методом Ван-дер-Поля
(метод усреднений Боголюбова-Митропольского) для учета нелинейности.
Для этого введем новые неизвестные функции
(
)
A
t и
(
)
t
ϕ
, связанные со
“старыми”
(
)
0
yt и
(
)
1
yt с помощью соотношений
(
)
(
)
(
)
(
)
() () ()
()
0
1
cos
s
yt At t t
yt At in t t
ωϕ
ωωϕ
⋅⋅−
−⋅ ⋅ ⋅−
=
=
. (8.18)
Подставим
(8.18) в (8.17), получим систему уравнений для новых
неизвестных
(
)
A
t и
(
)
t
ϕ
()
()
()
()
()
()
,sin,
1
,cos.
d
AyA
dt
d
yA
dt A
μ
νψ ψ
ω
μ
ϕ
νψ ψ
ω
−⋅ ⋅
⋅⋅ ⋅
=
=
(8.19)
В
(8.19) для краткости введены обозначения
(
)
A
At= ,
(
)
,t
ψ
ψϕ
=

Страницы