Численные методы. Мирошниченко Г.П - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

66
() ()
()
()
()
()
()
()
()
()
0
2
0
1
,, , sin ,
1
,sin
2
T
yAt t t d
T
yA d A
π
μ
ν
τωτϕτ ωτϕτ τ
ω
μ
νψ ψψ
ωπ
⋅
⎛⎞
⋅−⋅ ⋅− ⋅ ⋅− ≈
⎜⎟
⎝⎠
≈− ⋅ ⋅ ⋅ =Φ
⋅
∫
∫
. (8.23)
Здесь под знаком усреднения можно, сохраняя первый порядок точности
по параметру
μ
, заменить амплитуду и фазу на усредненные значения.
Аналогично, усредняя второе уравнение, получаем систему уравнений в
первом порядке метода усреднений (укороченные уравнения Ван-дер-
Поля)
()
()
d
A
A
dt
d
A
dt
ϕ
⎧
Φ
⎪
⎪
⎨
⎪
Ψ
⎪
⎩
=
=
. (8.24)
Здесь
() ()
()
()
2
0
11
,cos
2
A
yA d
A
π
μ
ν
ψψψ
ωπ
⋅
Ψ⋅⋅⋅ ⋅
⋅
∫
= .
Часто выполнено
(
)
0AΨ = . Тогда
0
ϕ
ϕ
=
, где
0
- начальная фаза (8.15).
Далее будем полагать
0: 0
ϕ
= .
Далее усредненное значение амплитуды будем обозначать той же буквой
A
, без черты сверху. Для ускорения работы программы удобно интеграл в
формуле
(8.23) взять явно
(8.25)
(
)
:AΦ=♦ .
Исследуем первое уравнение системы
(8.24). Построим график правой
части в зависимости от положительных значений
A
и найдем
приближенно, по графику, точки покоя этого уравнения
(
)
0AΦ = .
С помощью программы
(
)
,,root уточним значения этих точек. Получим
1: 2: 3:
A
AA
=
♦=♦=♦.
Не равные нулю амплитуды 1, 2, 3....
A
AA называются амплитудами
предельных циклов. Устойчивость предельного цикла определяется
соотношением знаков функции
(
)
A
Φ
: если при переходе через 0 знак
“плюс” меняется на знак “минус”, то этот предельный цикл
асимптотически устойчив. В противном случае цикл не устойчив. В
первом уравнении
(8.24) делятся переменные, и его решение имеет вид
(8.26)
()
()
0
1
,0:
A
A
tAA dA
A
=
Φ
∫
.

Страницы