Численные методы. Мирошниченко Г.П - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

68
помощью метода усреднений. Решим систему уравнений с правой частью
(
)
FN y (8.16) численно, с помощью схемы Рунге – Кутта (8.12). Для этого
определим минимальное и максимальное значение времени на каждом
интервале
1
2
3
1: 0 1: 1
2: 0 2: 2
3: 0 3: 3
n
n
n
tmin tmax t
tmin tmax t
tmin tmax t
=
=
==
==
.
Введем число шагов на каждой подобласти
1: 2: 3:NNN
=
♦=♦=♦ .
Определим шаг равномерной сетки на каждой подобласти
11 2 2 3 3
1: 2: 3:
12 3
tmax tmin tmax tmin tmax tmin
NN N
δδ δ
−− −
== =.
Определим начальные данные для каждой траектории, соответствующие
начальным амплитудам 1 , 2 , 3 ....
A
aAa Aa по формуле (8.15)
(
)
()
()
01: 0 1 , 0
02 : 0 2 , 0
03: 0 3 , 0
YyAa
YyAa
YyAa
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
.
Запустим схему Рунге – Кутта
(8.12)
)
0, , ,
R
Ka Y F N h несколько раз для
разных начальных данных, разного числа шагов и разной величины шага и
построим численные фазовые траектории в одном окне графопостроителя.
Сравним численный расчет с приближенным расчетом по методу
усреднений и оценим возможности приближенного метода.
Задания к работе
1. Доказать, что точность схемы Эйлера на каждом шаге оценивается
как
(
)
2
Oh , а схемы Рунге – Кутта с одной итерацией – как
)
3
Oh .
Запрограммировать неавтономную схему Эйлера и схему Рунге –
Кутта с одной итерацией. Рассмотреть точно решаемую
неавтономную систему уравнений и проверить численно, что
точность схемы Эйлера на интервале 01ttt
≤
≤ оценивается как
()
Oh, а схемы Рунге – Кутта – как
)
2
Oh .
2.
Задать правые части
)
,Ppq и
)
,Qpq автономной системы
уравнений и графически найти приближенные координаты точки
покоя системы на фазовой плоскости. Уточнить местоположение
точки с заданной точностью с помощью итерационного процесса.
3.
Найти тип выбранной точки покоя и построить несколько
приближенных решений задачи Коши в окрестности точки покоя с
помощью метода линеаризации для разных начальных данных.
Построить численное решение для тех же начальных данных и

Страницы