Численные методы. Мирошниченко Г.П - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

70
9. Метод Фурье и сеточный метод решения уравнений в
частных производных
9.1. Метод разделения переменных (метод Фурье) для
уравнения теплопроводности
Изучим уравнение теплопроводности, определяющее распределение
температуры по объему тела, находящегося в тепловом контакте с
внешней средой и нагреваемого источниками тепла “внутри” тела [1], [2],
[5], [6], [7]. Обозначим
()
,,,uxyzt - температуру тела в точке
(
)
,,
x
yz в
момент t . Введем характеристику теплового потока – вектор плотности
потока тепла
()
S,,,
x
yzt (размерность
(
)
2
эрг см сек ). По проверенному в
экспериментах закону (закон Фурье) этот вектор связан с температурой
формулой
(
)
(
)
(
)
S ,,, grad ,,,
x
yzt u xyzt
κ
−⋅= .
Здесь
κ
- коэффициент теплопроводности. Для неоднородных и
нестационарных сред
κ
зависит от точки и времени. Рассмотрим тело
D
,
ограниченное поверхностью
Σ
. Обозначим
(
)
,,,
f
xyzt - объемную
плотность источников тепла (размерность
(
)
3
эрг см сек
) в точке
(
)
,,
x
yz в
момент t . Количество тепла
S
Q
Δ
, созданное источниками в объеме D за
время tΔ равно
(
)
,,,
S
D
QfxyztdVtΔ⋅⋅Δ
∫∫∫
= .
Расход тепла за счет потока через поверхность
Σ
за время tΔ равно
(
)
(
)
(
)
S,,,,n,,
F
Qxyztxyzdt
Σ
Δ⋅Σ⋅Δ
∫∫
= .
Здесь
(
)
n,,
yz - внешняя нормаль к поверхности в точке
(
)
,,
x
yz на
поверхности. Отмеченные выше две причины приводят к изменению
количества тепла в теле за время t
Δ
, и это приведет к изменению
температуры в каждой точке тела. Изменение количества тепла в теле Q
Δ
связано с изменением температуры по формуле
(
)
(
)
,,, ,,,
t
D
QCxyztuxyztdVt
ρ
Δ⋅ ⋅ ⋅⋅Δ
∫∫∫
= .
Здесь: C - коэффициент теплоемкости вещества (при постоянном объеме),
(
)
,,,
x
yzt
ρ
- объемная плотность массы,
()()
,,, ,,,
t
uxyzt uxyzt
t
∂
∂
=
Применим теорему Остроградского – Гаусса. Закон сохранения тепла
SF
QQ QΔΔ−Δ= (9.1)

Страницы