Составители:
72
которое получается из неоднородного (9.3) обращением в нуль
неоднородности
()
,,,gxyzt, переменные разделились. А именно
пространственные переменные отделились от времени, то есть у
уравнения
(9.6) существовали бы частные решения вида
()()()
,,, ,,uxyzt X xyz Tt⋅= . В разделенном виде однородное уравнение
(9.6) имеет вид системы двух уравнений: однородного пространственного
и временного уравнения. Пространственное уравнение для функции
()
,,Xxyz имеет вид
(
)
(
)
,, ,,
K
Xxyz Xxyz
λ
⋅Δ ⋅
)
= . (9.7)
Решение
(
)
,,Xxyz удовлетворяет граничным условиям
() ()
(
)
(
)
()
(
)
12
n ,, ,grad ,, ,, 0xyz X xyz X xyz
γγ
Σ
⋅+⋅= . (9.8)
Однородное временное уравнение для функции
(
)
Tt имеет вид
(
)
(
)
t
Tt Tt
λ
⋅= .
Здесь
λ
- константа деления переменных. Как показывает теория, краевая
задача
(9.7), (9.8) на собственные векторы и собственные числа имеет
счетное число решений – собственных векторов
(
)
,,,
R
kxyz , для счетного
набора неположительных собственных чисел
k
λ
. Это множество решений
образует ортонормированный базис Фурье. Базисные функции
удовлетворяют уравнениям
(
)
(
)
() ( )
()
()
()
()
12
, , , , , , , 0,1,2......
n,,,grad ,,, ,,, 0
k
KRkxyz Rkxyz k
xyz Rkxyz Rkxyz
λ
γγ
Σ
⋅Δ ⋅
⋅+⋅
)
==
=
. (9.9)
Базисные элементы ортонормированны в смысле скалярного произведения
(
)
(
)
,
,,, ,,,
km
D
Rkxyz RmxyzdV
δ
⋅
∫∫∫
=
,
где
,km
δ
- символ Кронекера. Если удобный базис найден, то решение
неоднородного уравнения
(9.3), удовлетворяющее граничным условиям и
начальным данным, следует искать в виде ряда Фурье по этому базису
()()( )
0
,,, , ,,,
k
uxyzt Tkt Rkxyz
∞
=
⋅
∑
= .
Функция
(
)
,,,uxyzt автоматически удовлетворяет граничным условиям.
Для удовлетворения начальным данным
(9.4) временные функции
(
)
,Tkt
для каждого k должны удовлетворять неоднородному (если функция
(
)
,,,gxyzt не равна нулю) временному уравнению
(
)
(
)
(
)
()
0
,,,
, , 0,1,2.....
tk
k
t
Tkt Tkt Gkt
Tkt k
λ
ϕ
=
⋅+=
==
. (9.10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
