Численные методы. Мирошниченко Г.П - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

71
запишем в виде
(
)
(
)
()
()
()
()
()
,,, ,,,
div grad , , , , , ,
t
D
D
CxyztuxyztdV
uxyzt f xyzt dV
ρ
κ
⋅⋅⋅
⋅+⋅
∫∫∫
∫∫∫
=
=
.
В силу произвольности объема D получаем уравнение теплопроводности
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
div grad ,,, ,,, ,,, ,,,
t
u xyzt f xyzt C xyzt u xyzt
κρ
⋅+⋅⋅=
. (9.2)
Для однородной стационарной среды уравнение упрощается
(
)
(
)
(
)
,,, ,,, ,,,
t
K
uxyzt gxyzt u xyzt⋅Δ +
)
=
. (9.3)
Здесь коэффициент температуропроводности
K
C
κ
ρ
⋅
= ,
()
(
)
,,,
,,,
f
xyzt
gxyzt
C
ρ
⋅
= ,
222
222
yz
∂
∂∂
Δ++
∂
∂∂
)
= - оператор Лапласа.
Сформулируем задачу Коши для уравнения
(9.3). Будем искать решение
(
)
,,,uxyzt при 0t ≥ в объеме D , удовлетворяющее дополнительным
условиям:
а) начальным
(
)
(
)
(
)
0
,,, ,, , ,,
t
uxyzt xyz xyz D
Φ
=
∈
= (9.4)
b) краевым (граничным)
()() ( )
(
)
(
)
()( )
(
)
()
12
,, n ,, ,grad ,,, ,, ,,,
,,,
xyz xyz u xyzt xyz u xyzt
xyzt
γγ
β
Σ
⋅+⋅=
=
.
Здесь
(
)
,,,
x
yzt
β
- температура внешней среды в точках поверхности тела,
(
)
n,,
x
yz - внешняя единичная нормаль к поверхности. Граничное условие
есть закон теплообмена Ньютона на контакте двух сред: поток тепла вдоль
нормали к поверхности контакта пропорционален разности температур
контактирующих сред (в области контакта). Далее рассмотрим
стационарные однородные граничные условия
() ( )
(
)
(
)
()
(
)
12
n,,,grad ,,, ,,, 0xyz u xyzt u xyzt
γγ
Σ
⋅+⋅= . (9.5)
Здесь не зависящие от времени и координат коэффициенты
1
γ
и
2
γ
определяют тип теплового контакта тела с внешней средой (через
границу). Температура внешней среды считается равной нулю во все
моменты времени и во всех точках.
Задачу
(9.3), (9.4), (9.5) можно решить с помощью метода Фурье. Для
проведения данного метода необходимо, чтобы в однородном уравнении
(
)
(
)
,,, ,,,
t
K
uxyzt u xyzt⋅Δ
)
= , (9.6)

Страницы