Численные методы. Мирошниченко Г.П - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

74
(
)
(
)
() ()
()
() ()
()
0
11 0
22 0
xx
x
x
x
xL
KR x Rx
sRx hRx
sRx hRx
λ
=
=
⋅⋅
⋅−⋅
⋅+⋅
=
=
=
. (9.14)
Общее решение уравнения
(9.14) имеет вид
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
cos sin
R
xA Z xB Z x
λλ
⋅⋅+⋅⋅= . (9.15)
Здесь
(
)
:
Z
K
λλ
=− .
Подставим
(9.15) в граничные условия (9.14), получим систему
однородных уравнений для неизвестных ,,
A
B
λ
(
)
() ()
()
()
()
()
() ()
()
()
()
()
110
2sin 2cos
2cos 2sin 0
hAZ sB
Zs ZLh ZLA
Zs ZLh ZLB
λ
λλ λ
λλ λ
−⋅+ ⋅⋅
−⋅⋅ ⋅+⋅ ⋅⋅+
+⋅⋅ ⋅+⋅ ⋅⋅
=
=
. (9.16)
Система
(9.16) имеет нетривиальные решения, при условии, что ее
детерминант равен нулю
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()
()
()
2
:1221cos
12 12sin
det Z h s h s Z L
s
sZ hh Z L
λλ λ
λλ
−⋅⋅+⋅⋅ ⋅+
+
⋅⋅ −⋅ ⋅ ⋅
.
Получаем трансцендентное уравнение
(
)
0det
λ
= . (9.17)
Корни уравнения
(9.17) определяют собственные числа задачи Штурма –
Лиувилля. Найдем значения m отрицательных младших корней
приближенно, построив график функции
(
)
det
λ
. Затем, с помощью
программы
(
)
root ,, , найдем положение корней с заданной точностью.
Найденные собственные числа упорядочим в вектор
λ
:m =♦ ,
:
λ
=♦ .
Для каждого собственного числа найдем соответствующий собственный
вектор. Если 10h ≠ , то положим
()
(
)
1
:1 :
1
n
Z
s
BAn
h
λ
⋅
== .
Тогда ненормированный собственный вектор имеет вид
(9.18)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,: cos sin
nn
rnx An Z x Z x
λλ
=
⋅⋅+⋅.
Введем скалярное произведение и определим нормы векторов
(9.18)

Страницы