Составители:
75
()
2
0
:0.. 1
:,
L
k
km
Nrkxdx
=
−
=
∫
.
Тогда ортонормированный базис Фурье имеет вид
()
(
)
,
,:
n
rnx
Rnx
N
=
.
Проверим ортонормировку численно, заполнив матрицу
()()
,
0
:0.. 1
:, ,
L
kp
pm
M
Rkx R pxdx
=
−
=⋅
∫
.
Матрица
M
должна быть близка к единичной. Точность ортонормировки
существенно зависит от точности вычисления собственных чисел
k
λ
.
Приближенное решение задачи
(9.11), (9.12), (9.13) ищем в виде частичной
суммы ряда Фурье
() ()( )
0
,,,
m
n
uxt Tnt Rnx
=
⋅
∑
= .
Погрешность, вносимая обрывом ряда, зависит от скорости убывания
коэффициентов Фурье при увеличении их номера. Ряд Фурье будет быстро
сходиться, если исходная, разлагаемая в ряд, функция будет удовлетворять
граничным условиям
(9.14) во все моменты времени. Отсюда следует, что
быструю сходимость ряда следует ожидать тогда, когда начальное условие
(
)
x
Φ
(9.12) и функция
(
)
,gxt (9.11) будут удовлетворять граничным
условиям
(9.13). Сконструируем функцию
(
)
,gxt, удовлетворяющую
граничным условиям
(9.13). Для этого выберем произвольную гладкую
функцию
(
)
,
H
xt
(
)
,:Hxt =♦ .
“Исправим” эту функцию, добавив к ней линейное по
x
слагаемое
(
)
(
)
tx t
χ
θ
⋅+ . Для каждого момента t функции
(
)
(
)
,tt
θ
χ
подберем так,
чтобы граничные условия
(9.13)оказались выполненными. Решим
полученную систему двух уравнений, получим
(
)
(
)
::tt
θ
χ
=
♦=♦.
Тогда функция
(
)
,gxt запишется
(9.19)
(
)
(
)
(
)
(
)
,: ,gxt Hxt t x t
χ
θ
=
+⋅+.
По аналогии получим начальное условие
(
)
x
Φ
, выбрав произвольную
гладкую функцию
(
)
x
Ψ
и исправив ее добавкой ax b
⋅
+
(
)
:x
Ψ
=♦ .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
