Составители:
76
Подберем ,ab так, чтобы
(
)
x
Φ
удовлетворяла (9.13), получаем
(9.20)
() ()
::
:
ab
x
xaxb
ΦΨ
=
♦=♦
=
+⋅+
.
Решим временное уравнение
(9.10). Для этого найдем компоненты Фурье
функций
(
)
,gxt и
(
)
x
Φ
() ()( )
0
,: , ,
L
Gnt gxt Rnxdx=⋅
∫
,
() ( )
0
:,
L
p
x
Rpxdx
ϕΦ
=⋅
∫
.
Решение задачи Коши
(9.10) имеет вид
()
()
()
()
0
,:exp , exp
t
nn n
Tnt t Gnt tdt
λϕ λ
⎛⎞
=⋅+ ⋅−⋅
⎜⎟
⎝⎠
∫
.
Окончательно (приближенное, из-за обрыва ряда) решение
(9.11) - (9.13)
имеет вид
() ()( )
0
,: , ,
m
n
uxt Tnt Rnx
=
=⋅
∑
.
Средства математических пакетов позволяют анимировать картину
остывания слоя, записать анимацию в видеофайл и детально изучить
закономерности остывания в зависимости от типа граничных условий и
особенностей нагрева источниками.
9.2. Конечно-разностные методы
При решении уравнений в частных производных сеточными методами
получают приближенные значения искомой функции на сетке
пространственных и временных узлов (
сеточная функция). В случае
необходимости можно построить интерполяционную формулу для
приближенного представления решения между узлами.
Дифференциальное уравнение на сетке заменяется на разностное. При
этом возникают следующие проблемы:
1) сходится ли точное решение разностной задачи к решению
дифференциальной (вопрос сходимости)
2) насколько сильно изменяется решение разностной задачи, если при
вычислениях допускаются погрешности и
насколько сильно решение
зависит от изменения начальных данных (вопрос устойчивости)
3) какова погрешность аппроксимации, то есть погрешность, вносимая
при замене дифференциальной операции на разностную (вопрос порядка
аппроксимации).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- …
- следующая ›
- последняя »
