Численные методы. Мирошниченко Г.П - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

77
В случае линейных дифференциальных уравнений разностное уравнение
представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Чтобы
получить эту систему необходимо дифференциальным операциям
(производным по времени и по координатам) сопоставить
соответствующую конечно-разностную схему. На конечно-разностные
уравнения необходимо заменить само уравнение и граничные условия.
Порядок аппроксимации рассчитывается с помощью разложения функции
и
ее производных в ряды Тейлора в точках сетки узлов с использованием
шаблона. Так, если остаточное слагаемое оценивается как
(
)
k
Oh , где h -
шаг равномерной сетки
m
x
по координате
x
, то порядок аппроксимации
равен k . Найдем конечно-разностное выражение для второй производной
произвольной функции
(
)
f
x с порядком аппроксимации 2k = шаблоне
11mmm−+
−•−oo. Здесь под черным кружком отмечен номер узла, в котором надо
вычислить производную, и эта производная должна быть выражена через
значения функции на остальных узлах шаблона. Другими словами, для
данного шаблона надо найти коэффициенты
012
,,aaa в выражении
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
011 21mm mm
f
xafx afxafx Oh
−+
′′
⋅+⋅+⋅+
= .
Для этого используем разложение Тейлора до третьего порядка по h
( ) () () () ()
()
( ) () () () ()
()
23
4
1
23
4
1
26
26
mmm m m
mmm m m
hh
f
xfxfxhfx fx Oh
hh
f
xfxfxhfx fx Oh
+
−
′′′ ′′′
+⋅+⋅+ ⋅+
′ ′′ ′′′
−⋅+⋅− ⋅+
=
=
.
Сложим эти два уравнения, получим требуемое разложение
()
(
)
(
)
(
)
()
2
11
2
2
mm m
m
fx fx fx
f
xOh
h
+−
+−⋅
′′
+
= . (9.21)
Используем шаблон
012
•− −oo для аппроксимации первой производной
произвольной функции
(
)
f
x с точностью
(
)
2
Oh в левом граничном
условии
(9.14). Получаем
()
(
)
(
)
(
)
()
2
12 0
0
43
2
x
fx fx fx
xOh
h
⋅−−⋅
+
⋅
= . (9.22)
Обозначим n - номер последнего узла координатной сетки. Используем
шаблон
21nnn−−
−−•oo для аппроксимации первой производной произвольной
функции
(
)
f
x с точностью
(
)
2
Oh в правом граничном условии (9.14).
Получаем
()
(
)
(
)
(
)
()
2
21
34
2
nn n
xn
fx fx fx
f
xOh
h
−−
⋅+ −⋅
+
⋅
=
. (9.23)

Страницы