Численные методы. Мирошниченко Г.П - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

65
(8.20)
(
)
,:tt
ψ
ϕω ϕ
=⋅−,
(8.21)
()
(
)
()
cos
,:
s
A
yA
Ain
ψ
ψ
ω
ψ
⋅
⎛⎞
=
⎜⎟
−⋅⋅
⎝⎠
.
Метод Ван-дер-Поля применяется к системам, для которых можно ввести
иерархию характерных времен развития. В исследуемой системе имеются
“быстрые” движения, которые происходят с периодом
2
T
π
ω
⋅
= .
Включение малой нелинейности приводит к появлению у системы
“медленных” движений, имеющих большие характерные времена.
Согласно
(8.19), медленно изменяются во времени новые функции –
амплитуда
(
)
A
t и фаза
(
)
t
. Это следует из того факта, что их
производные – правые части
(8.19) – пропорциональны малому параметру
μ
. Движения с разными характерными временами можно приближенно
разделить с помощью оператора усреднений Боголюбова -
Митропольского. Оператор усреднений имеет вид
() ()
0
1
,
T
f
tftd
T
τ
τ
⋅
∫
= . (8.22)
Здесь усредняется функция
(
)
f
t , где, для удобства введены два
временных аргумента t и
τ
. Такое разделение весьма условно. Аргумент t
связан с медленным развитием функции
(
)
f
t , аргумент
τ
связан с
быстрыми изменениями этой же функции. Другими словами, при
интегрировании надо зафиксировать медленно изменяющиеся параметры
под интегралом и проинтегрировать по “быстрому” времени. В
(8.22)
чертой помечена усредненная функция. Для выделения медленных
движений, согласно идее метода Боголюбова - Митропольского, применим
операцию усреднения к уравнениям
(8.19). Применение операции к левой
части первого уравнения дает результат
() () ()
0
1
,,
T
d
A
tAtdAt
Tt dt
τττ
τ
∂∂
⎛⎞
⋅+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∫
= .
Здесь под интегралом записана полная производная по времени
() () ()
,,
t
d
At At At
dt t
τ
ττ
τ
=
∂∂
⎛⎞
+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
= .
Применим операцию усреднения к правой части первого уравнения
(8.19)

Страницы