Численные методы. Мирошниченко Г.П - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

80
Решение будет устойчивым, если параметры
γ
по модулю будут равны 1.
Будем искать
γ
в виде
(
)
exp i
γ
χ
⋅= . (9.34)
Тогда из
(9.33) получаем дисперсионное соотношение для положительных
λ
в виде
(
)
21cos
λ
μχ
⋅⋅−= .
Отсюда следует, что
04
λ
μ
≤≤⋅
. (9.35)
Решение первого уравнения системы
(9.32) ищем в виде
m
m
v
δ
= .
Подставим это решение в
(9.32), получим соотношение 1
−= . Решение
(9.32) будет устойчивым при увеличении m , если 11
λ
−
< , или
02
λ
≤<. (9.36)
При выполнении
(9.34) все собственные числа
λ
(9.35) будут
удовлетворять
(9.36), если выполнено соотношение (9.29). Запишем
рекуррентное соотношение
(9.25) в матричной форме. Для этого введем
матрицу
D второй производной
,
1, 1 1 1 1, 1
:2
1: 0.. 1
:1 :1
mm
mm m m
D
mn
DD
++
=
−
=−
==
.
Решение на сетке, удовлетворяющее начальным и граничным условиям,
имеет вид
()
()
0
1
0, 1 1, 1 2, 1
,1 1,1 2,1
0..
:
1
4
312 1
2
4
3222
jj j j
jjj
nj n j n j
u
for j N
uu Dug
U
s
uuu
shh
s
uuu
shh
u
Φ
μτ
+
+++
+−+−+
←
∈
←+⋅⋅+⋅
=
←⋅⋅−
⋅+⋅⋅
←⋅⋅−
⋅+⋅⋅
.
Сравним графически решения, полученные методом Фурье и решения на
сетке. Проверим формулы для погрешности вычислений.
Задания к работе
1. Объяснить расстановку знаков в законе сохранения тепла (9.1) и
дать подробный вывод уравнения теплопроводности
(9.2).
Объяснить физический смысл граничных условий
(9.5).

Страницы