Численные методы. Мирошниченко Г.П - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

82
10. Интегральное уравнение Фредгольма II рода
В различных разделах математической физики широко используется
интегральное уравнение Фредгольма II рода [1], [2], [5], [9], [14]
() ( ) () ()
,
b
a
yx Kxx yxdx f x
λ
⋅⋅+
∫
%%%
= . (10.1)
Здесь
(
)
yx - неизвестная функция, удовлетворяющая условиям
непрерывности и интегрируемости на интервале axb
≤
≤ ,
(
)
,
K
xx
%
- ядро
интегрального оператора,
(
)
f
x - заданная функция (правая часть
уравнения),
λ
- параметр уравнения. Обозначим для краткости
интегральный оператор символом J
)
() ( ) ()
J,
b
a
yx Kxx yxdx⋅
∫
)
%%%
= (10.2)
и перепишем
(10.1) в виде
(
)
(
)
(
)
IJyx f x
λ
−⋅
)
)
= . (10.3)
Здесь I
)
- единичная операция. Для поиска решения используется понятие
резольвенты. Решение уравнения
(10.3) запишем в виде
() Rez() ()yx f x
λ
⋅= . (10.4)
Здесь обозначен (интегральный) оператор резольвенты
(
)
1
Rez( ) I J
λλ
−
−⋅
)
)
= ,
имеющий ядро Rez( , , )
x
λ
%
и действующий на функцию ()
f
x (10.4)
согласно правилу
() ()
Rez( , , )
b
a
yx xx f xdx
λ
⋅
∫
%%%
=
. (10.5)
Найдем ядро Rez( , , )
x
λ
%
. Для этого предположим, что интегральный
оператор J
)
обладает дискретным спектром характеристических чисел
, 0,1,2......
n
n
μ
= и счетным набором собственных функций
(
)
n
x
χ
J() ()
mm m
x
x
μχ χ
⋅
)
= . (10.6)
Собственные функции нормированы условием
() ()
,
b
nm nm
a
xxdx
χ
χδ
∗
⋅
∫
= . (10.7)
Здесь
,nm
δ
- символ Кронекера,
∗
- комплексное сопряжение. Ядро
(
)
,
K
xx
%
можно разложить по (бесконечному) базису
(10.6), (10.7)

Страницы