Численные методы. Мирошниченко Г.П - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

85
() ( ) ()
0
,
n
k
k
yx gkx A f x
λ
=
⋅⋅+
∑
= . (10.20)
Здесь введен пока еще неизвестный вектор с компонентами
k
A
,
определяемыми из соотношения
()()
,
b
k
a
A
gkx yxdx⋅
∫
= . (10.21)
Подставим
(10.20) в (10.21) и получим уравнение для неизвестных
k
A
,
0
n
kkmmk
m
A
MAFF
λ
=
−⋅ ⋅
∑
= . (10.22)
Здесь введены обозначения
(10.23)
()( )
()()
,
: 0.... : 0....
:, ,
:,
b
km
a
b
k
a
knmn
M
gkx gmxdx
FF g k x f x dx
=
=
=⋅
=⋅
∫
∫
.
Определим матрицу резольвенты
(
)
REZg
λ
в линейной оболочке
L
,
построенной на функциях
(
)
{
}
,, 0,1...gkx k n=
(10.24)
(
)
(
)
1
:REZg E M
λλ
−
=−⋅ .
Тогда решение уравнения
(10.22) имеет вид
(
)
(
)
:
A
REZg FF
λ
λ
=
⋅ .
Решение интегрального уравнения
(10.20) запишется
(10.25)
() ()() ()
0
,: ,
n
k
k
yx gkxA fx
λλ λ
=
=⋅ ⋅ +
∑
.
Здесь дополнительно введена зависимость от параметра
λ
для удобства.
Можно убедиться, что данное выражение есть решение
(10.1), например,
сравнив графически левую и правую части уравнения
(10.1) (после
подстановки).
Построим точное решение
(10.1) с помощью собственного базиса ядра
по формуле
(10.18). Для этого найдем собственные векторы ядра, решив
задачу
(10.6). Собственный вектор
()
m
x
χ
, принадлежащий линейной
оболочке
L
, построенной на функциях
(
)
{
}
,, 0,1...gkx k n=
, следует
искать в виде (проверяется подстановкой в
(10.6))
()
,
0
( ) , , 0,1....
n
mmkm
k
x
gkx m n
χμ
=
⋅Χ⋅
∑
==. (10.26)

Страницы