ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Теорема 4.2. Если
{
}
n
x – монотонная и ограниченная
последовательность: неубывающая и ограничена сверху
n1n
xx ≥
+
,
0n
Mx ≤ или невозрастающая и ограниченная снизу
n1n
xx ≤
+
,
0n
mx ≥ , то она имеет предел, где
0
m и
0
M – постоянные
действительные числа.
Пример 4.4. Исследовать на монотонность и ограниченность следующие
последовательности:
а)
,...
n
1
,
n
1
,...,
2
1
,
2
1
,1,1 ; б)
{
}
,...n,n,...,2,2,1,1 ; в)
+1n
n
.
Решение:
а) последовательность
,...
2
1
,
2
1
,1,1 – невозрастающая. Она
ограничена сверху своим первым элементом, равным единице, а снизу –
нулем;
б) последовательность
{
}
,...n,n,...,2,2,1,1 – неубывающая. Она
ограничена снизу своим первым элементом, равным единице, а сверху не
ограничена;
в) последовательность
+1n
n
– возрастающая. Она ограничена с
обеих сторон: снизу – своим первым элементом
2
1
, а сверху, например,
единицей.
Примером монотонной возрастающей последовательности,
ограниченной сверху, служит последовательность
+
n
n
1
1 , которая по
теореме 4.2 имеет конечный предел. Предел этой последовательности
называют числом e.
Следовательно, 718281828,2e
n
1
1lim
n
n
==
+
∞→
– второй
замечательный предел.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
