Дифференциальное исчисление функции действительных переменных. Митрохин Ю.С - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

1) она определена в точке
0
x и некоторой ее окрестности;
2) существует предел )x(f
lim
0
xx→
;
3) этот предел равен значению функции в точке
0
x , т.е.
(
)
(
)
0
xx
xfxf
lim
0
=
→
.
Условие 3 можно переписать в виде
(
)
(
)
(
)
0
0xx0xx
xfxf
lim
xf
lim
00
==
+→−→
.
Обозначая xxx
0
∆=− (приращение
аргумента) и
(
)
(
)
yxfxf
0
∆=−
(приращение функции), условие
непрерывности можно записать так: 0y
lim
0x
=
∆
→∆
, т.е. функция непрерывна
в том и только в том случае, если бесконечно
малому приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение функции (рис.
6.2).
Определение 6.2. Функция
(
)
xf
называется непрерывной на множестве D, если
она непрерывна в каждой точке этого
множества.
Пример 6.1. Доказать, что функция
2
xy = непрерывна на всей числовой оси.
Решение. Пусть
0
x – произвольная точка. Давая аргументу приращение
x
∆
, получаем приращение функции
(
)
2
0
2
2
0
xxx2xxxy
0
∆+∆=−∆+=∆ .
Если теперь
0x
→
∆
, то
2
0
xxx2y ∆+∆=∆ . Следовательно,
0y
lim
0x
=
∆
→∆
и функция
2
xy = непрерывна на всей числовой оси.

Страницы