Дифференциальное исчисление функции действительных переменных. Митрохин Ю.С - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Если в точке
0
x функция имеет максимум или минимум, то говорят, что
в точке
0
x имеет место экстремум; значение функции в этой точке
называется экстремальным, точка
0
x называется точкой экстремума.
Замечание. Функция
(
)
xf , определенная на отрезке D, может достигать
максимума или минимума только при значениях x, заключенных внутри
рассматриваемого отрезка.
Необходимое условие экстремума
Если
0
x – точка экстремума функции
(
)
xf , то
(
)
0xf
0
=
′
или
(
)
0
xf
′
не существует.
Точки, в которых
(
)
0xf =
′
, называются стационарными точками, а
точки, в которых
(
)
xf
′
не существует вместе со стационарными, называются
критическими точками. Однако не всякая критическая точка является точкой
экстремума, поэтому необходимо каждую из критических точек исследовать
на основании достаточных условий существования экстремума.
Первое достаточное условие
локального экстремума функции
Теорема 7.2. Пусть
0
x – критическая точка функции
(
)
xf , причем
(
)
xf непрерывна для всех
(
)
0
xux
δ
∈ и дифференцируема для всех
(
)
0
xux
δ
∈ , за исключением, может быть,
0
xx = . Тогда
1) если
(
)
0xf >
′
для всех
(
)
00
x,xx δ−∈ и
(
)
0xf <
′
для всех
(
)
δ+∈
00
x,xx , т.е. если при переходе слева направо через критическую
точку первая производная функции
(
)
xf меняет знак с плюса на минус, то в
точке
0
x функция имеет максимум (max);
2) если
(
)
0xf <
′
для всех
(
)
00
x,xx δ−∈ и
(
)
0xf >
′
для всех
(
)
δ+∈
00
x,xx , т.е. если при переходе слева направо через критическую

Страницы