ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
точку первая производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке
0
x
функция
(
)
xf имеет минимум (min).
Второе достаточное условие экстремума функции
Пусть функция
(
)
xf дважды дифференцируема для всех
(
)
0
xux
δ
∈ ,
0
x – стационарная точка, т.е.
(
)
0xf
0
=
′
.
Если
(
)
0xf
0
>
′
′
, то
0
x – точка минимума функции
(
)
xf ; если же
(
)
0xf
0
<
′
′
, то
0
x – точка максимума функции
(
)
xf .
Пример 7.62. Исследовать на экстремум функцию
15
1
x
3
2
4
x
5
x
y
3
45
+−+= .
Решение. Областью определения данной функции является вся числовая
ось. Находим производную данной функции
234
x2xxy −+=
′
.
Используя необходимое условие экстремума, получаем уравнение для
нахождения критических точек:
0x2xx
234
=−+
⇒ 0x
1
= , 1x
2
= , 2x
3
−= .
Рассмотрим интервалы:
(
)
2;−∞− ,
(
)
0;2− ,
(
)
1;0 ,
(
)
∞;1 . Выбираем
внутри каждого из этих интервалов произвольную точку и определяем знак
первой производной. Результаты удобно оформить в виде рисунка (см. рис.
7.4).
Итак, в точке
-2
x
=
первая производная меняет знак с плюса на минус,
следовательно, в точке
-2
x
=
функция имеет максимум:
(
)
32yy
max
=−= ; в точке
1
x
=
первая производная меняет знак с
минуса на плюс, следовательно, в точке
1
x
=
данная функция достигает
минимального значения,
()
20
3
1y
min
−= . В точке
0x
=
экстремума нет,
так как производная знака не меняет.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- …
- следующая ›
- последняя »
