Дифференциальное исчисление функции действительных переменных. Митрохин Ю.С - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
00
yy
xx
y,xfy,xflim
0
0
=
→
→
, (8.1)
причем точка
(
)
y,xM стремится к точке
(
)
000
y,xM произвольным
образом, оставаясь в области определения функции.
Если обозначим xxx
0
∆+= , yyy
0
∆+= , то равенство (8.1)
можно переписать так:
(
)
(
)
0000
0y
0x
y,xfyy,xxflim =∆+∆+
→∆
→∆
(8.2)
или
(
)
(
)
[
]
0y,xfyy,xxflim
0000
0y
0x
=−∆+∆+
→∆
→∆
.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется
непрерывной в области.
Если в некоторой точке
(
)
00
y,xN не выполняется условие (8.1), то
точка
(
)
00
y,xN называется точкой разрыва функции
(
)
yx,fz = .
Условие (8.2) может не выполняться, например, в случаях:
1)
(
)
yx,fz = определена во всех точках окрестности точки
(
)
00
y,xN , за исключением самой точки
(
)
00
y,xN ;
2) функция
(
)
yx,fz = определена во всех точках окрестности точки
(
)
00
y,xN , но не существует предела
(
)
y,xflim
0
0
yy
xx
→
→
;
3) функция определена во всех точках окрестности
(
)
00
y,xN и
существует предел
(
)
y,xflim
0
0
yy
xx
→
→
, но
(
)
(
)
00
yy
xx
y,xfy,xflim
0
0
≠
→
→
.
Пример 8.9. Функция
22
yxz += непрерывна при любых значениях x
и y, т.е. в любой точке плоскости XOY. Действительно, каковы бы ни были
числа x и y,
x
∆
и y
∆
, имеем

Страницы