Механические колебания. Молотков Н.Я - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

т.е.
R
x
h
m
2
2
= . Поэтому
R
x
mgW
m
2
п
2
1
=
. (4.5)
Кинетическая энергия шарика при прохождении положения равновесия равна
22
к
2
1
v
2
1
Ω+=
JmW
m
. (4.6)
Линейная скорость шарика
ρΩ=
ω
=
mm
xv , (4.7)
где ω – частота колебаний шарика; Ω – угловая скорость вращения шарика вокруг его оси.
2
22
22
к
2
1
2
1
ρ
ω
+ω=
m
m
x
JxmW
.
Учитывая, что момент инерции
шарика
2
5
2
ρ= mJ
, окончательно получим
22
к
10
7
m
xmW ω= . (4.8)
На основании закона сохранения
энергии:
кп
WW
=
. Найдем частоту колебаний
шарика
0
84,0
7
5
ω==ω
R
g
,
(4.9)
где
0
ω – частота колебаний маятника, который получится, если подвесить шарик на нити длиной R и убрать желобок.
2. Рассмотрим колебания столба жидкости, заполняющей изогнутую трубку, заканчивающуюся большими резервуара-
ми объема
0
V (рис. 13), содержащими идеальный газ при давлении
0
P . При смещении жидкости из положения равновесия,
указанного пунктиром
OO
′
, возникает восстанавливающая сила
gxSPSF
x
ρ
−
∆
−
=
22 ,
где S – сечение трубки; ρ – плотность жидкости.
Так как колебания довольно медленные, то процесс сжатия газа можно считать изотермическим
const=PV ; Sx
V
P
V
V
P
P
0
0
≈∆−=∆ .
Следовательно, получим
kxg
V
SP
SxF
x
−=
ρ+−=
0
0
2 , (4.10)
где
ρ+= g
V
SP
Sk
0
0
2 . (4.11)
Восстанавливающая сила действует на массу жидкости lSm
ρ
=
, где l – длина столба жидкости (массой газа можно
пренебречь). Получим следующее уравнение движения
kx
dt
xd
lS −=ρ
2
2
или
0
2
2
=+ x
glS
k
dt
xd
. (4.12)
Частота колебаний жидкости будет равна
l
g
V
SP
ρ
ρ+
=ω
0
0
2
. (4.13)
При 1000=ρ кг/м
3
;
5
0
10=P Па;
4
105
−
⋅=S м
2
;
3
0
10
−
=V м
3
; l = 1 м, получим: 11
=
ω
с
–1
. При открытых концах трубки
частота уменьшается до величины
5,4
2
==ω
l
g
с
–1
.
3. Лодка, плавающая в спокойной воде, также представляет колебательную систему (рис. 14). В состоянии равновесия
центр тяжести лодки лежит в точке С, точка приложения силы Архимеда – точка А. При случайном наклоне лодки ее центр
тяжести С сохраняется, но центр приложения силы Архимеда смещается в точку А
1
. Возникающая пара сил создает вра-
щающий момент
Рис. 13
V
0
V
0
2x
–∆р
+
∆
р
x

Страницы