Механические колебания. Молотков Н.Я - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где δ – принято называть коэффициентом затухания;
2
0
ω=
m
k
.
Заметим, что
0
ω представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания маятника при отсут-
ствии сопротивления среды, т.е. при
0=r . Физический смысл величины δ выясним позже. С учетом введенных обозначений
дифференциальное уравнение принимает вид
02
2
0
2
2
=ω+δ+ x
dt
dx
dt
xd
. (6.2)
Данное уравнение имеет различные решения в зависимости от величины сил сопротивления. Рассмотрим два основных
случая.
1. Пусть коэффициент сопротивления r меньше удвоенного волнового сопротивления ρ, т.е.
ρ< 2r . Учитывая выраже-
ния (2.12) и (6.1) получим
0
ω<δ . Другими словами, мы рассматриваем случай малых сил сопротивления. При этих услови-
ях решение дифференциального уравнения (6.2) может быть представлено в виде
()
0
sin
0
ϕ+ω=
δ−
texx
t
m
, (6.3)
которое называется уравнением затухающих колебаний, так как при 0→t , 0→x .
Частота затухающих колебаний равна
22
0
δ−ω=ω или
2
2
−=ω
m
r
m
k
,
т.е. частота затухающих колебаний всегда меньше частоты собственных колебаний
(
)
0
ω
<
ω
. Множитель
(
)
0
sin
ϕ
+
ω
t в вы-
ражении (6.3) имеет тот же физический смысл, что и в случае идеальных колебаний. Сомножитель
t
m
ex
δ−
0
в (6.3) указывает
на то, что мгновенная амплитуда реальных колебаний уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону
t
mm
exx
δ−
=
0
, (6.4)
где
0
m
x
– амплитуда колебаний в начальный момент времени при 0
=
t и
2
0
π
=ϕ
.
Движение, описываемое уравнением (6.3), не является гармоническим, так как с течением времени последовательные
максимальные отклонения точки от положения равновесия уменьшаются. Изобразим временную диаграмму затухающих
колебаний. Построим вначале графики
t
m
exx
δ−
=
0
и
t
m
exx
δ−
−=
0
(рис. 19), а затем и график самой функции (6.3).
Таким образом, уравнение (6.3) можно рассматривать как периодическое движение с частотой ω и амплитудой, умень-
шающейся по закону (6.4). Быстрота затухания определяется коэффициентом затухания δ. Выясним его физический смысл.
Возьмем промежуток времени τ такой, что
δ
=τ
1
. Тогда на основании (6.4) имеем
e
x
exx
m
mm
0
0
1
==
−
.
Рис. 19
t
xm
0
x
= –xm
0
e
–δ
t
x
= xm
0
e
–δ
t

Страницы