Механические колебания. Молотков Н.Я - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 20
Следовательно, обратная величина коэффициента затухания есть время, в течение которого амплитуда уменьшается в е
раз (рис. 20).
Найдем фазовую траекторию для затухающих колебаний.
Продифференцируем выражение (6.3) по времени
tex
dt
dx
t
m
ωω≈=
δ−
cosv . (6.5)
Исключив из уравнений (6.3) и (6.5) время t , получим
t
mm
e
xx
x
δ−
=
ω
+
2
22
2
2
2
v
.
Следовательно, фазовая диаграмма затухающих колебаний представляет собой спи-
раль (рис. 21). Быстроту затухания принято характеризовать логарифмическим декремен-
том затухания, который численно равен натуральному логарифму отношения двух мгно-
венных амплитуд, отличающихся во времени на период
ω
π
=
2
T :
()
Ttm
mt
x
x
+
=λ ln
. (6.6)
Другими словами, декремент затухания характеризует относительную убыль амплиту-
ды затухающих колебаний за период. С учетом выражения (6.4) найдем
()
Te
ex
ex
T
Tt
m
t
m
δ===λ
δ
+δ−
δ−
lnln
0
0
. (6.7)
Учитывая то, что коэффициент затухания
τ
=δ
1
, обратно пропорционален времени τ, за которое амплитуда колебаний
уменьшается в е раз, найдем
e
N
Т 1
=
τ
=λ
, (6.8)
где
e
N – число полных колебаний, совершив которые амплитуда уменьшается в е раз.
Для характеристики затухания колебательной системы часто применяется величина Q, называемая добротностью, ко-
торая определяет относительную убыль энергии за период, подобно тому, как декремент затухания определяет относитель-
ную убыль амплитуды.
Полный запас энергии системы в одном из положений наибольшего отклонения равен
t
m
ekxW
δ−
=
22
2
1
. (6.9)
Работа против силы трения за период равна
∫∫ ∫
−===
L
TT
тртр
dtxrdtxFldFA
00
2
&&
. (6.10)
Если уравнение затухающих колебаний имеет вид
(
)
0
cos ϕ+ω=
δ−
texx
t
m
,
то мгновенная скорость примерно равна
t
τ
O
e
x
m0
0m
x
m
x
Рис. 21
х
х
m

Страницы