Механические колебания. Молотков Н.Я - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 25
равно
21
xxx += . Предположим, что результирующее колебание маятника имеет вид
(
)
ϕ
+
ω
=
+
=
txxxx
m
cos
21
,
где
m
x – амплитуда результирующего колебания; ω – его круговая частота; ϕ – начальная фаза. Для нахождения этих вели-
чин воспользуемся методом векторных диаграмм (рис. 25). Построим векторную диаграмму двух колебаний (8.1) для мо-
мента времени
0=t .
Проекции векторов
1
m
x
и
2
m
x
на опорную линию определяют смещение маятника
01
x и
02
x при 0=t . Так как векторы
1
m
x и
2
m
x вращаются с одинаковой угловой скоростью
0
ω
, то угол
(
)
12
ϕ
−
ϕ
между ними остается неизменным. Поэтому в
любой момент времени результирующее колебание может быть изображено вектором
21
mmm
xxx +=
,
вращающимся с той же частотой
0
ω=
ω
. Проекция этого вектора на опорную линию равна результирующему смещению
маятника в начальный момент времени
02010
xxx
+
=
.
Учитывая, что все три вектора вращаются с одинаковой скоростью, легко понять, что проекции этих векторов на опор-
ную линию связаны соотношением
21
xxx += .
Следовательно, результирующее движение маятника описывается уравнением
(
)
0
cos
ϕ
+
ω
=
txx
m
.
С помощью векторной диаграммы без использования громоздких тригонометрических преобразований легко найти ам-
плитуду результирующего колебания
()
12
222
cos2
2121
ϕ−ϕ++=
mmmmm
xxxxx . (8.2)
Векторная диаграмма позволит определить и начальную фазу результирующего колебания
21
21
0201
coscos
sinsin
tg
21
21
ϕ+ϕ
ϕ
+ϕ
=
+
+
=ϕ
mm
mm
xx
xx
xx
NMLN
. (8.3)
Из выражения (8.2) следует, что результирующая амплитуда зависит не только от амплитуд складываемых колебаний,
но и от их разности начальных фаз
)(
12
ϕ−ϕ . Колебания одинаковых частот, разность начальных фаз которых постоянна или
равна нулю, называются когерентными. Исследуем, как зависит амплитуда результирующего колебания от разности фаз.
1. Пусть разность фаз складываемых колебаний равна четному числу
π
:
π
=
ϕ
−
ϕ
n2
12
, (8.4)
где n = 0, 1, 2, 3, …, т.е. складываемые колебания синфазные. Для этого необходимо пружинный маятник (рис. 24) в началь-
ный момент сместить от положения равновесия по отношению к подставке вниз на величину
1
m
x
и сместить саму подставку
относительно неподвижной системы координат в том же направлении на величину
2
m
x
, а затем отпустить. Учитывая выра-
жение (8.4), получим
()
1cos
12
=ϕ−ϕ . Следовательно, согласно формуле (8.2) найдем амплитуду результирующего колебания
ника
(
)
2222
212121
2
mmmmmmm
xxxxxxx +=++= или
21
mmm
xxx +=
. (8.5)
Таким образом, если разность фаз двух складываемых когерентных однонаправленных колебаний равна четному числу
π
, то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. На рис. 26 приведены гра-
фики колебаний
1
x и
2
x , а также временная диаграмма результирующего колебания х. На рис. 27 приведена векторная диа-
грамма сложения двух когерентных колебаний при
π
=
ϕ
−
ϕ
n2
12
.

Страницы