Механические колебания. Молотков Н.Я - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 28
Рис. 29
Рассмотрим случай сложения двух колебаний, направленных по одной прямой, но незначительно отличающихся по
частоте. Такие колебания будут некогерентными. Колебания шарика (см. рис. 24) относительно подставки совершаются с
частотой ω, а колебания подставки с частотой
()
ω
∆
+ω :
;cos
1
1
tхх
m
ω=
()
txx
m
ω∆+ω= cos
2
2
. (8.9)
Для простоты будем считать, что
mmm
xxx ==
21
. Дадим анализ сложения указанных колебаний на основе векторной диа-
граммы (рис. 30). Пусть в начальный момент времени векторы
1
m
x
и
2
m
x
совпадают по фазе и амплитуда результирующего
бания максимальна и равна
mmmр
xxxx 2
21
=+=
.
Вектор
р
x
при 0=t совпадает с опорной линией. В силу того, что частоты складываемых колебаний различны, то век-
торы
1
m
x
и
2
m
x
рассматриваемых колебаний на векторной диаграмме вращаются с различной скоростью, поэтому результи-
рующая амплитуда
р
x с течением времени будет уменьшаться. Наступит такой момент, когда разность фаз между колеба-
ниями будет равна
π=ϕ и результирующая амплитуда будет равна
0
21
=−=
mmр
xxx
. Далее разность фаз между рассмат-
риваемыми колебаниями будет возрастать до
π
=
ϕ
2 и амплитуда результирующего колебания снова будет равна
00
2
mр
xx = . Далее изменение результирующей амплитуды будет повторяться. Такое периодическое изменение амплитуды
результирующего колебания при сложении колебаний с близкими частотами называются биениями.
Временную диаграмму биений можно получить теоретически сложив уравнения (8.9)
Рис. 30
ttxxxx
m
ω
ω
∆
=+= cos
2
cos2
21
.
Это уравнение можно рассматривать как колебание с частотой ω, у которого амплитуда
ω∆
tx
m
2
cos2
периодически
изменяется с течением времени (рис. 31). Период биений равен
ω∆
π
=
2
б
T .
Согласно векторной диаграмме (см. рис. 24) результирующая амплитуда при сложении колебаний с близкими частота-
ми может быть найден аналитически в любой момент времени по формуле (8.2), а энергия по формуле (8.8). Однако, так как
разность фаз
12
ϕ
−
ϕ
=
ϕ
между складываемыми колебаниями периодически изменяется, то и энергия результирующего ко-
лебания периодически изменяется с частотой
б
2
T
π
=ω∆
. Для нахождения амплитуды результирующего колебания двух неко-
герентных колебаний усредним значение косинуса за достаточно большой промежуток времени:
()
0cos
12
=ϕ−ϕ . На основа-
нии (8.8) найдем
(
)
21122121
cos2 WWWWWWW +=ϕ−ϕ++=
.

Страницы