Механические колебания. Молотков Н.Я - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

l
M
l
0
Рис. 34
ведущего с массивным грузом М и ведомого, выполненного в виде легкого стержня длиной
0
l . Маятники вблизи точек под-
веса соединены легкой пружиной с малой жесткостью. Маятник с массивным грузом имеет достаточно большую доброт-
ность, и время его затухания составляет несколько минут. Ведомый маятник обладает малой добротностью, и время его за-
тухания составляет несколько секунд. Ведомый маятник имеет постоянную собственную частоту колебаний, которая опре-
деляется формулой (4.4)
0
0
2
3
l
g
=ω
. (10.1)
Частота же колебаний ведущего маятника может изменяться благодаря перемещению груза, т.е. изменению его длины l.
Если ведущему маятнику предоставить совершать свободные колебания, то благодаря слабой связи ведомый маятник
совершает вынужденные колебания под действием внешней периодической силы. Следует отметить, что в начальный мо-
мент времени вынужденные колебания происходят с периодически изменяющейся амплитудой, а затем становятся устойчи-
выми и амплитуда остается неизменной. Объясняется это тем, что в начальный момент времени колебания ведомого маятни-
ка складываются из собственных колебаний частоты
0
ω
и вынужденных колебаний с частотой
l
g
=ω
. (10.2)
Если разность этих частот невелика, то результирующее движение ведомого маятника в начальный момент представля-
ет собой биения. Но так как собственные колебания ведомого маятника достаточно быстро затухают, то в последующем вы-
нужденные колебания становятся устойчивыми и имеют постоянную амплитуду.
Исследуем, как зависит амплитуда вынужденных установившихся колебаний от частоты вынуждающей силы.
а) Устанавливают груз М ведущего маятника на максимальном расстоянии l от оси подвеса, т.е.
0
ll ≥ . Согласно фор-
мулам (10.1) и (10.2) частота вынуждающей силы будет меньше собственной частоты колебаний ведомого маятника
()
0
ω<ω . Из опыта следует, что амплитуда вынужденных колебаний ведомого маятника невелика и составит не более 20°.
При этом фазы колебаний маятников совпадают, т.е. фаза вынужденных колебаний совпадает по фазе с вынуждающей силой.
б) Устанавливают груз М ведущего маятника на минимальном расстоянии от оси подвеса. Так как
0
ll
<
< , то частота
внешней периодической силы будет больше собственной частоты колебаний ведомого маятника
()
0
ω>ω . Наблюдая за ус-
тановившимися колебаниями маятника, отмечают, что их амплитуда невелика, но маятники совершают колебания в проти-
вофазе. Следовательно, вынужденные колебания отстают по фазе от изменения внешней силы на π.
в) Устанавливают груз М ведущего маятника на расстоянии
0
3
2
ll =
от оси подвеса. В этом случае частота внешней пе-
риодической силы будет совпадать с собственной частотой ведомого маятника. Из опыта следует, что амплитуда вынужден-
ных колебаний достигает максимального значения. При этом вынужденные колебания отстают по фазе от изменения внеш-
ней силы на
2
π
.
Теоретический анализ вынужденных колебаний дадим на примере рассмотрения пружинного маятника, на который
кроме силы упругости
kxF −=
1
и силы вязкого трения v
2
rF
−
=
действует еще внешняя сила, изменяющаяся по гармониче-
скому закону
tFF ω
=
sin
0
. (10.3)
Дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид
tFkx
dt
dx
r
dt
xd
m ω=++ sin
0
2
2
или t
m
F
x
m
k
dt
dx
m
r
dt
xd
ω=++ sin
0
2
2
. (10.4)
Учитывая, что δ=
m
r
2
и
2
0
ω=
m
k
, получим
t
m
F
x
dt
dx
dt
xd
ω=ω+δ+ sin2
0
2
0
2
2
. (10.5)
Решение этого уравнения в установившемся режиме будет иметь вид
(
)
ϕ
−
ω
=
txx
m
sin , (10.6)

Страницы