Механические колебания. Молотков Н.Я - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

по поверхности b анкера, создает дополнительное трение, а следовательно и дополнительные потери по сравнению со сво-
бодными колебаниями.
Другим примером механической автоколебательной системы является маятник Фроуда, представляющий собой физиче-
ский маятник, жестко скрепленный с кольцевой муфтой, свободно насаженной на равномерно вращающийся вал (рис. 39).
Между муфтой маятника и валом необходимо создать условия существования сухого трения. При неподвижном вале
колебания маятника быстро затухают. Однако, если частота вращения вала
Ω
равна собственной частоте
0
ω колебаний ма-
ятника, то его колебания становятся незатухающими, т.е. система становится автоколебательной. Дадим элементарное объ-
яснение возникновения автоколебаний. Линейная скорость
0
V точек поверхности вала относительно неподвижной системы
отсчета постоянна. Муфта маятника совершает колебания вместе с ним, поэтому скорость любой точки поверхности муфты
маятника относительно той же системы отсчета изменяется с течением времени по гармоническому закону: скорость v точек
трущихся поверхностей муфты равна нулю при максимальном отклонении маятника от положения равновесия; скорость v
максимальна при прохождении маятником положения равновесия. Мгновенная скорость муфты изменяется не только по
величине, но и по направлению. В первый полупериод, когда маятник движется влево (рис. 40,
а), а муфта вращается на-
встречу вращающемуся валу, относительная скорость трущихся поверхностей
vvv
0отн
−
=
вала и муфты имеет максималь-
ное значение. Возможно, что
0отн
v2v
=
при
0
ω=Ω . Во второй полупериод, когда маятник движется вправо (рис. 40, б), а
муфта вращается в том же направлении, что и вал, относительная скорость трущихся поверхностей
vvv
0отн
−
= имеет ми-
нимальное значение. При
0
ω=Ω возможно, что 0v
отн
=
. Известно, что сила сухого трения нелинейно зависит от относи-
тельной скорости трущихся поверхностей, причем чем меньше
отн
v , тем больше сила сухого трения и наоборот. Следова-
тельно, в первый полупериод со стороны вращающегося вала на муфту маятника действует
сила сухого трения
т
F , но она
минимальна, так как
отн
v максимальна. Во второй полупериод со стороны вращающегося вала на муфту маятника действует
максимальная сила сухого трения
т
F
′
, а точнее сила сухого трения покоя. При этом
тт
FF >
′
.
Рис. 40
Таким образом за каждый период колебаний маятника на короткое время между валом и муфтой возникает сухое тре-
ние покоя, которое больше силы трения во все другие моменты времени рассматриваемого периода колебаний. Это приводит
к тому, что если за первую половину периода колебаний, когда муфта вращается в направлении, противоположном направле-
нию вращающегося вала (рис. 40,
а), сила трения минимальна, она тормозит движение маятника. За вторую половину перио-
да, когда муфта вращается в том же направлении, что и вал (рис. 40,
б), максимальная сила трения, действующая на муфту со
стороны вращающегося вала, подталкивает маятник, сообщая ему максимально возможную кинетическую энергию, которая
полностью компенсирует потери энергии за первый полупериод. Другими словами, со стороны вращающегося вала, как ис-
точника энергии, на муфту маятника за каждый период колебаний действует один толчок в направлении его движения, что и
позволяет поддерживать колебания маятника незатухающими. Колебания маятника, работающего в автоколебательном ре-
жиме вследствие воздействия на него кратковременных толчков, не являются гармоническими. В отличие от фазовой диа-
граммы незатухающих колебаний, на фазовой диаграмме автоколебаний маятника Фроуда (рис. 41) имеется характерный
изгиб. Толчок, действующий со стороны вращающегося вала, скачком увеличивает мгновенную скорость
x
&
маятника, а,
следовательно, и его кинетическую энергию.
Если обозначить угол отклонения маятника от вершины
ϕ, момент инерции маятника J, массу маятника m и его приве-
денную длину
l, то уравнение движения физического маятника запишется в виде
MmglJ
=
ϕ
+
ϕ
sin
&&
,
где M – момент силы трения. Для малых углов
(
)
ϕ
≈
ϕ
sin уравнение имеет вид
MmglJ =
ϕ
+
ϕ
&&
. (11.1)
Момент силы трения является функцией скорости взаимного движения трущихся поверх-
ностей, т.е. функцией угловой скорости
Ω вращения муфты маятника относительно вала
(
)
Ω
−
ϕ
=
&
fM .
Рис. 41

Страницы