Механические колебания. Молотков Н.Я - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 47
Если работа внешних сил по увеличению силы тяжести за период окажется больше, чем потери энергии маятника за
тот же промежуток времени, то энергия маятника с течением времени будет возрастать, а, следовательно, и амплитуда
колебаний будет увеличиваться. Если энергия, сообщаемая маятнику за период, окажется равной потерям энергии за то
же время, то колебания маятника становятся незатухающими.
2. Возбуждение параметрических колебаний маятника, когда изменяемым параметром является его длина, можно пока-
зать с помощью установки, изображенной на рис. 47. Небольшой шар B подвешен на тонкой нити длиной 1,5 м. Свободный
конец нити D переброшен через неподвижный блок C. Если свободный конец D нити закрепить, а шар отклонить в сторону и
затем отпустить, то маятник будет совершать колебания с частотой
0
ω
, соответствующей длине подвеса BCl
=
0
. Колебания
в этом случае будут затухающими. Однако если после запуска маятника с небольшой амплитудой периодически с частотой
ω в два раза большей, чем собственная частота колебаний маятника
(
)
0
2
ω
=
ω
, укорачивать и увеличивать на величину
l
∆
длину подвеса маятника, то амплитуда колебаний маятника увеличивается; причем для наступления параметрического резо-
нанса необходимо укорачивать длину подвеса, когда он проходит положение равновесия и увеличивать длину, когда он на-
ходится в крайних точках.
Рассмотрим возбуждение параметрических колебаний с энергетической точки зрения. Пусть в начальный момент вре-
мени маятник находится в положении 1 (рис. 48) и имеет потенциальную энергию
Рис. 48
01
mgHW = . Через четверть периода колебаний маятник будет находиться в положении 2 и обладать кинетической энергией
2
v
2
0
2
m
W =
. На основании закона сохранения энергии
21
WW
=
найдем скорость маятника при прохождении положения рав-
новесия
00
2v gH= . Когда маятник проходит положение 2 равновесия, укоротим длину маятника на величину l
∆
и пере-
ведем маятник в положение 3. Так как перемещение происходит перпендикулярно к скорости, то кинетическая энергия ма-
ятника не изменяется и равна
2
v
2
0
3
m
W =
. За счет этой энергии при переходе в точку 4 маятник поднимается относительно
точки 3 на высоту
0
H в соответствии с законом сохранения энергии
34
WW
=
, т.е.
2
v
2
0
0
m
mgH =
. Но так как длина маятника
стала (l
0
– ∆l) и она меньше
0
l , то для поднятия на высоту
0
H маятник должен отклониться от положения равновесия на
угол
0
α>α . В момент, когда маятник находиться в положении 4, увеличим длину маятника на величину l
∆
, т.е. восстано-
вим первоначальную длину маятника
0
l . Так как в положении 5 угол
0
α
>
α
, то он имеет потенциальную энергию mgHW
=
5
,
которая больше, чем
1
W . Таким образом, при соответствующем изменении длины маятника амплитуда будет возрастать.
Подсчитаем работу, совершаемую внешними силами, при укорачивании его длины на величину
l∆ , т.е. при переводе
маятника из положения 2 в положение 3. При прохождении маятником положения равновесия сила натяжения нити Т долж-

Страницы