Механические колебания. Молотков Н.Я - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

на уравновешиваться силой тяжести и центробежной силой
l
m
mgT
2
0
v
+=
. Следовательно, работа внешних сил на участке 2-
3 равна
l
l
m
lmglTA ∆+∆=∆=
2
0
23
v
.
При увеличении длины маятника на величину
l
∆
при переводе его из положения 4 в положение 5 сила тяжести совер-
шает работу
lmgA
∆
α
−
=
cos
45
.
Легко видеть, что
4523
AA > , т.е. за счет периодического изменения длины маятника он получает энергию
4523
AAW +=∆ . Если эта энергия будет компенсировать потери энергии на трении, то колебания станут незатухающими.
Интересным примером параметрического возбуждения является устройство (рис. 49), в котором точка подвеса матема-
тического маятника постоянной длины
0
l нити совершает гармонические колебания в вертикальном направлении. Для полу-
чения прямолинейных гармонических колебаний точки подвеса маятника его нить прикреплена к штоку, который совершает
возвратно-поступательные вертикальные движения. Гармоническое колебание штока в вертикальном направлении,
Рис. 49
а следовательно, и точки подвеса маятника достигается благодаря преобразованию вращательного движения вала, приводи-
мого в равномерное движение электродвигателем МПР-3 с редуктором, в возвратно-поступательное – с помощью криво-
шипного механизма. Скорость вращения кривошипа может плавно регулироваться путем изменения напряжения, подавае-
мого от выпрямителя ВС-24 на электродвигатель.
Перед проведением опытов определяют собственную частоту
0
ω
колебаний маятника при неподвижной точке подвеса.
Устанавливают частоту
ω вращения кривошипа такой, чтобы она была в два раза больше собственной частоты
0
ω
колеба-
ний маятника, т.е.
0
2ω=ω . Включив двигатель, запускают маятник при небольшом отклонении из крайнего положения в
тот момент, когда шток опускается. Другими словами, фазовое соотношение между колебаниями точки подвеса и колеба-
ниями маятника при запуске должно быть таким, чтобы при прохождении маятником положения равновесия шток подни-
мался вверх, а при прохождении крайних точек шток опускался. Если при данных фазовых соотношениях условие
0
2
ω
=
ω
строго выполняется, то амплитуда колебаний маятника после запуска возрастает, а угол максимального отклонения маятни-
ка при установлении параметрического резонанса более 45
°. Если соотношение
0
2
ω
=
ω
не выполняется, то после запуска
маятника опытным путем подбирают необходимую частоту вращения кривошипа до наступления параметрического резо-
нанса.
Легко видеть, что в данном случае изменяемым параметром системы является вес маятника. Действительно, при про-
хождении маятником положения равновесия вследствие ускоренного подъема точки подвеса, вес маятника увеличивается на
величину
1
am , где
1
a – среднее ускорение подъема маятника. Так как уравнение колебаний точки подвеса имеет вид
tRx
ω
=
sin ,
где R – радиус кривошипа, то среднее ускорение точки подвеса при подъеме маятника равно
tRtRxa
0
22
1
2sinsin ωω−=ωω−==
&&
,
где среднее значение синуса берется за время, равное половине периода колебаний кривошипа, или за время, равное четвер-
ти периода колебаний маятника. Аналогично, при прохождении маятником крайних точек вследствие ускоренного опуска-
ния штока вес маятника будет уменьшаться на величину
2
am , где
αωω−= cossin
2
2
tRa ,
α – угол отклонения маятника от положения равновесия в крайних точках. Работа, совершаемая внешними силами при
подъеме маятника, будет положительной, а при опускании – отрицательной, причем при подъеме маятника внешние силы

Страницы