Механика. Молотков Н.Я - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

124
Введём обозначения
δ= 2
m
r
или
m
r
2
=δ
, (7.5.1)
где
δ
– принято называть коэффициентом затухания;
2
0
ω=
m
k
. Заме-
тим, что
0
ω
представляет собой ту частоту, с которой совершались бы
свободные колебания маятника при отсутствии сопротивления среды,
т.е. при
0
=
r
. Физический смысл величины
δ
выясним позже.
С учётом введённых обозначений дифференциальное уравнение при-
нимает вид
02
2
0
2
2
=ω+δ+ x
dt
dx
dt
xd
. (7.5.2)
Данное уравнение имеет различные решения в зависимости от ве-
личины сил сопротивления. Рассмотрим два основных случая.
1. Пусть коэффициент сопротивления
r
меньше удвоенного
волнового сопротивления
ρ
, т.е.
ρ
<
2r
. Учитывая выражения (7.2.12)
и (7.5.1), получим
0
ω<δ
. Другими словами, мы рассматриваем случай
малых сил сопротивления. При этих условиях решение дифференци-
ального уравнения (7.5.2) может быть представлено в виде
(
)
0
sin
0
ϕ+ω=
δ−
texx
t
m
. (7.5.3)
Данное выражение называется уравнением затухающих колеба-
ний, так как при
0
→
t
,
0
→
x
. Частота затухающих колебаний равна
22
0
δ−ω=ω
или
2
2
−=ω
m
r
m
k
, (7.5.4)
т.е. частота затухающих колебаний всегда меньше частоты собствен-
ных колебаний
(
)
0
ω<ω
. Множитель
(
)
0
sin ϕ+ωt
в выражении (7.5.3)
имеет тот же физический смысл, что и в случае идеальных колебаний.
Сомножитель
t
m
ex
δ−
0
в (7.5.3) указывает на то, что мгновенная ампли-
туда реальных колебаний уменьшается с течением времени по экспо-
ненциальному закону
t
mm
exx
δ−
=
0
, (7.5.5)
где
0
m
x
– амплитуда колебаний в начальный момент времени при
0
=
t
и
2
0
π
=ϕ
; x
m
– амплитуда колебаний в момент t.
Движение, описываемое (7.5.3), не является гармоническим, так
как с течением времени последовательные максимальные отклонения
точки от положения равновесия уменьшаются. Изобразим временную

Страницы