Механика. Молотков Н.Я - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

92
1. Тонкостенный цилиндр или кольцо. Пусть ось z вращения сов-
падает с осью симметрии цилиндра (рис. 4.7). Другими словами, ось
вращения проходит через центр масс C цилиндра или кольца. Будем
считать, что толщина стенок цилиндра значительно меньше его радиу-
са R. Разобьём тонкостенный цилиндр на эле-
ментарные массы
i
m∆
. Согласно определе-
нию, момент инерции тонкостенного цилинд-
ра по отношению к оси z будет равен
∑∑∑
===
∆=∆==
n
i
i
n
i
i
n
i
izC
mRRmII
1
2
1
2
1
.
Учитывая, что
mm
n
i
i
=∆
∑
=1
– масса рас-
сматриваемого кольца, получим
2
mRI
zC
=
. (4.5.7)
Данный результат очевиден, так как радиус R вращения одинаков
для всех элементарных масс.
2. Диск или цилиндр. Пусть ось вра-
щения z проходит через центр масс С пер-
пендикулярно к плоскости диска (рис. 4.8).
Обозначим через m массу диска, а через
R – его радиус. Разобьём диск на элемен-
тарные тонкостенные цилиндры массой
dm. Момент инерции тонкостенного ци-
линдра относительно оси z равен
dmrdI
i
2
=
. (4.5.8)
Массу dm выразим через плотность ρ
материала цилиндра
ρπ=ρ= rdrhdVdm
2
, (4.5.9)
где dV – элементарный объём; dr – толщина элементарного цилиндра,
а h – его высота. Учитывая полученные выражения, на основании
(4.5.8) получаем
drhrdI
i
3
2πρ=
. (4.5.10)
Момент инерции цилиндра или диска найдём интегрированием
полученного выражения
22
4
0
3
2
1
4
22 hRR
R
hdrrhI
R
zC
ρπ=πρ=πρ=
∫
или
2
2
1
mRI
zC
=
. (4.5.11)
3. Однородный стержень. Пусть m – масса стержня; l – его длина
(рис. 4.9). Ось вращения проходит через центр масс С перпендикуляр-
Рис. 4.7
Рис. 4.8

Страницы